La media idéntrica de dos números reales positivos, x e y, se define como:
Se puede deducir del teorema del valor medio considerando la recta secante de la gráfica de la función . Se puede generalizar a más variables según el teorema del valor medio para diferencias divididas. La media idéntrica es un caso especial de la media de Stolarsky.
Desigualdad AM-IM-GM Debe recordarse que . Entonces, dado que el integrando es estrictamente cóncavo, al usar dos variaciones de la integral de Riemann para aproximarlo (con un solo sumando),
1. La regla del trapecio proporciona una cota inferior, ya que todas las líneas secantes que interpolan dos puntos de la curva se encuentran por debajo de ella.
2. La suma de Riemann proporciona una cota superior, ya que sus líneas tangentes la intersecan solo en el punto desde el que se trazan y se encuentran por encima de ella en cualquier otro punto.
Estas desigualdades dan lugar a:
Al establecer $y=1$ y usar este valor como razón entre términos sucesivos, la desigualdad IM-GM establece que es estrictamente creciente, mientras que la desigualdad AM-IM establece que es estrictamente decreciente. Junto con sus límites en , que son . Esto demuestra que la primera variante de la fórmula de Stirling es una cota inferior para , mientras que la segunda (que apareció por primera vez en las notas de James Stirling) es una cota superior.
Véase también Promedio Media logarítmica
Referencias
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