En matemáticas, la media logarítmica es una función de dos números no negativos que es igual a su diferencia dividida por el logaritmo de su cociente.
Este valor es aplicable en problemas de ingeniería que involucran a la transferencia de calor y a la transferencia de masa.
Definición La media logarítmica se define mediante
para , tal que .
Desigualdades La media logarítmica de dos números es menor que la media aritmética y la media generalizada con exponente mayor que 1. Sin embargo, es mayor que la media geométrica y la media armónica, respectivamente. Las desigualdades son estrictas a menos que ambos números sean iguales. Más precisamente, para con y , se tiene que
donde las expresiones en la cadena de desigualdades son, en orden: la media armónica, la media geométrica, la media logarítmica, la media aritmética y la media aritmética generalizada con exponente .
Deducción
Teorema del valor medio del cálculo diferencial
Según el teorema del valor medio, existe un valor en el intervalo entre y donde la derivada es igual a la pendiente de la recta secante:
La media logarítmica se obtiene como el valor de sustituyendo por y de manera similar para su correspondiente derivada:
y despejando :
Integración
La media logarítmica también viene dada por la integral
Esta interpretación permite derivar algunas propiedades de la media logarítmica. Dado que la función exponencial es monotónica, la integral sobre un intervalo de longitud 1 está acotada por y .
Otras dos representaciones integrales útiles son: y:
Generalización
Teorema del valor medio del cálculo diferencial
Se puede generalizar la media a variables considerando el teorema del valor medio para diferencias divididas para la -ésima derivada del logaritmo.
Se obtiene
donde denota una diferencia dividida del logaritmo. Para esto conduce a
Integral
La interpretación integral también puede generalizarse a más variables, pero conduce a un resultado diferente. Dado el símplex y con y una medida adecuada que asigna al símplex un volumen de 1, se obtiene
Esto puede expresarse mediante las diferencias divididas de la función exponencial como
En el caso de , es
Relación con otras medias
Algunas otras medias pueden expresarse en términos de la media logarítmica.
+ Otras medias expresadas en términos de la media logarítmica Nombre Media ExpresiónMedia aritméticaMedia geométricaMedia armónica
Véase también La media logarítmica es un caso particular de la media de Stolarsky. Diferencia de temperatura media logarítmica Semianillo log (en inglés)
Referencias
Bibliografía Oilfield Glossary: Término 'media logarítmica'
Media Categoría:Medias