En matemáticas, el teorema de Riemann-Roch para superficies describe la dimensión de los sistemas lineales sobre una superficie algebraica. Su formulación clásica fue dada por primera vez por , tras haberse encontrado versiones preliminares por parte de y . La versión teórica en haces se debe a Hirzebruch.
Enunciado Una forma del teorema de Riemann-Roch establece que si es un divisor en una superficie proyectiva no singular, entonces
donde es la característica de Euler holomorfa, el punto () indica el número de intersección y es el divisor canónico. La constante es la característica de Euler holomorfa del fibrado trivial, y es igual a , donde es el genus aritmético de la superficie. A modo de comparación, el teorema de Riemann-Roch para una curva establece que .
Fórmula de Noether
La fórmula Noether establece que
donde χ=χ(0) es la característica de Euler holomorfa, c12 = (K.K) es un número de Chern y el número de autointersección de la clase canónica K, y e = c2 es la característica de Euler topológica. Puede utilizarse para sustituir el término χ(0) en el teorema de Riemann-Roch por términos topológicos, lo que da lugar al teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch para superficies.
Relación con el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch Para superficies, el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch es esencialmente el teorema de Riemann-Roch para superficies combinado con la fórmula de Noether. Para ver esto, debe recordarse que para cada divisor D en una superficie existe un haz invertible L = O(D) tal que el sistema lineal de D es, más o menos, el espacio de secciones de L. Para superficies, la clase de Todd es , y el carácter de Chern del haz L es simplemente , por lo que el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch establece que
Afortunadamente, esto puede escribirse de una forma más clara como sigue. En primer lugar, al establecer D = 0 se obtiene
(fórmula de Noether)
Para haces invertibles (fibrados de rectas), la segunda clase de Chern se anula. Los productos de clases de segunda cohomología pueden identificarse con números de intersección en el grupo de Picard, y se obtiene una versión más clásica de Riemann-Roch para superficies:
Si se desea, se puede usar la dualidad de Serre para expresar h2(O(D)) como h0(O(K − D)), pero a diferencia del caso de las curvas, en general no existe una forma sencilla de escribir el término h1(O(D)) sin involucrar a la cohomología de haces (aunque en la práctica a menudo se anula).
Primeras versiones Las primeras formas del teorema de Riemann-Roch para superficies se enunciaban a menudo como una desigualdad en lugar de una igualdad, debido a que no existía una descripción geométrica directa de los primeros grupos de cohomología. Un ejemplo típico es el de , que establece que
donde
r es la dimensión del sistema lineal completo |D| de un divisor D (es decir, r = h0(O(D)) −1) n es el grado virtual de D, dado por el número de autointersección (D.D) π es el género virtual de D, igual a 1 + (D.D + K.D)/2 pa es el género aritmético χ(OF) − 1 de la superficie i es el índice de especialidad de D, igual a dim H0(O(K − D)) (que, por la dualidad de Serre, es lo mismo que dim H2(O(D))).
La diferencia entre los dos miembros de esta desigualdad se denominaba superabundancia s del divisor D. Al comparar esta desigualdad con la versión del teorema de Riemann-Roch basada en la teoría de haces, se observa que la superabundancia de D viene dada por s = dim H1(O(D)). El divisor D se calificaba de regular si i = s = 0 (o, dicho de otro modo, si todos los grupos de cohomología superiores de O(D) se anulan) y de superabundante si s > 0.
Referencias
Bibliografía Topological Methods in Algebraic Geometry de Friedrich Hirzebruch
Categoría:Teoremas de geometría algebraica Categoría:Superficies algebraicas