El teorema de Riemann-Roch es una proposición importante en matemáticas, específicamente en análisis complejo y geometría algebraica, para el cálculo de la dimensión del espacio de funciones meromorfas con ceros prescritos y polos permitidos. Relaciona el análisis complejo de una superficie de Riemann compacta y conexa con el genus puramente topológico g de la superficie, de una manera que puede trasladarse a contextos estrictamente algebraicos.
Demostrado inicialmente como la desigualdad de Riemann por , el teorema alcanzó su forma definitiva para las superficies de Riemann tras el trabajo de Riemann, alumno de , fallecido prematuramente. Más tarde se generalizó a curvas algebraicas, a variedades de mayor dimensión y más allá.
Nociones preliminares
Una superficie de Riemann es un espacio topológico que es localmente homeomorfo a un subconjunto abierto de , el conjunto de los números complejos. Además, se exige que las aplicaciones de transmisión entre estos subconjuntos abiertos sean holomorfas. Esta última condición permite trasladar las nociones y métodos del análisis complejo —que tratan sobre funciones holomorfas y funciones meromorfas en — a la superficie . A efectos del teorema de Riemann-Roch, siempre se supone que la superficie es compacta. En términos coloquiales, el genus (o género) de una superficie de Riemann es su número de asas. Por ejemplo, el género de la superficie de Riemann mostrada a la derecha es tres. Más precisamente, el género se define como la mitad del primer número de Betti, es decir, la mitad de la dimensión del primer grupo de homología singular con coeficientes complejos. El género clasifica superficies de Riemann compactas sin considerar homeomorfismos; es decir, dos de tales superficies son homeomorfas si y solo si su género es el mismo. Por lo tanto, el género es un invariante topológico importante de una superficie de Riemann. Por otro lado, la teoría de Hodge muestra que el género coincide con la dimensión del espacio de formas holomorfas de grado uno sobre , por lo que el género también codifica información analítico-compleja sobre la superficie de Riemann.Griffith, Harris, p. 116, 117
Un divisor es un elemento del grupo abeliano libre sobre los puntos de la superficie. Equivalentemente, un divisor es una combinación lineal finita de puntos de la superficie con coeficientes enteros.
Cualquier función meromorfa da lugar a un divisor denotado , definido como
donde es el conjunto de todos los ceros y polos de , y viene dado por
.
Se sabe que el conjunto es finito, lo que es consecuencia de que es compacto y del hecho de que los ceros de una función holomorfa (no nula) no tienen un punto de acumulación. Por lo tanto, está bien definido. Cualquier divisor de esta forma se denomina divisor principal. Dos divisores que difieren en un divisor principal se denominan linealmente equivalente. El divisor de una 1-forma meromorfa se define de manera similar. El divisor de una 1-forma meromorfa global se denomina divisor canónico (habitualmente denotado como ). Cualesquiera dos 1-formas meromorfas dan lugar a divisores linealmente equivalentes, y por tanto, el divisor canónico queda determinado de forma única salvo equivalencia lineal (de ahí la expresión "el" divisor canónico).
El símbolo denota el grado (a veces llamado también índice) del divisor , es decir, la suma de los coeficientes que aparecen en . Puede demostrarse que el divisor de una función meromorfa global siempre tiene grado 0, y por consiguiente, el grado de un divisor depende únicamente de su clase de equivalencia lineal.
El número es la cantidad de mayor interés: la dimensión (sobre ) del espacio vectorial de funciones meromorfas en la superficie tales que todos los coeficientes de son no negativos. Intuitivamente, se puede considerar que se trata de todas aquellas funciones meromorfas cuyos polos en cada punto no superan en orden al coeficiente correspondiente en . Si el coeficiente en en el punto es negativo, se exige que tenga un cero de, al menos, ese orden de multiplicidad en ; si el coeficiente en es positivo, puede tener un polo de, a lo sumo, ese orden. Los espacios vectoriales correspondientes a divisores linealmente equivalentes son naturalmente isomorfos mediante la multiplicación por la función meromorfa global (que está bien definida salvo un escalar).
Enunciado del teorema
El teorema de Riemann-Roch para una superficie de Riemann compacta de género con divisor canónico establece que
.
Por lo general, el número es el que interesa, mientras que se considera un término de corrección (también llamado índice de especialidad),Stichtenoth p.22Mukai pp.295–297 de modo que el teorema puede parafrasearse aproximadamente diciendo:
dimensión − corrección = grado − género + 1.
Dado que se trata de la dimensión de un espacio vectorial, el término de corrección es siempre no negativo, por lo que:
.
Esto se conoce como la desigualdad de Riemann. La parte de Roch del enunciado consiste en la descripción de la posible diferencia entre los dos miembros de la desigualdad. En una superficie de Riemann general de género , tiene grado , independientemente de la forma meromorfa elegida para representar el divisor. Esto se deduce al sustituir en el teorema. En particular, siempre que tenga un grado de al menos , el término de corrección es 0, de modo que:
.
A continuación, se ilustrará el teorema para superficies de género bajo. Existen también otros teoremas estrechamente relacionados: una formulación equivalente de este teorema utilizando haces de rectas y una generalización del teorema a curvas algebraicas.
Ejemplos El teorema se ilustrará eligiendo un punto en la superficie en cuestión y considerando la sucesión de números
es decir, la dimensión del espacio de funciones que son holomorfas en todas partes excepto en , donde se permite que la función tenga un polo de orden a lo sumo . Para , se requiere por tanto que las funciones sean enteras, es decir, holomorfas en toda la superficie . Según el teorema de Liouville, tal función es necesariamente constante. Por consiguiente, . En general, la sucesión es una sucesión creciente.
Género cero La esfera de Riemann es un conjunto simplemente conexo y, por tanto, su primer grupo de homología singular es cero. En particular, su género es cero. La esfera puede cubrirse con dos copias de , siendo su aplicación de transmisión la dada por
.
Por consiguiente, la forma en una copia de se extiende a una forma meromorfa en la esfera de Riemann: tiene un polo doble en el infinito, ya que
Así, su divisor canónico es (donde es el punto en el infinito).
Por tanto, el teorema establece que la sucesión es
1, 2, 3, ... .
Esta sucesión también puede deducirse de la teoría de descomposición en fracciones simples. Recíprocamente, si esta sucesión comienza de esta manera, entonces debe ser cero.
Género uno
El siguiente caso es una superficie de Riemann de género , como un toro , donde es un retículo bidimensional (un grupo isomorfo a ). Su género es uno: su primer grupo de homología singular está generado libremente por dos lazos, como se muestra en la ilustración de la derecha. La coordenada compleja estándar en produce una 1-forma en que es holomorfa en todas partes, es decir, no tiene polos en absoluto. Por tanto, , el divisor de , es cero.
En esta superficie, esta sucesión es
1, 1, 2, 3, 4, 5 ... ;
y esto caracteriza el caso . De hecho, para , , como se mencionó anteriormente. Para con , el grado de es estrictamente negativo, por lo que el término de corrección es 0. La sucesión de dimensiones también puede derivarse de la teoría de funciones elípticas.
Género dos y superior Para , la sucesión mencionada anteriormente es
1, 1, ?, 2, 3, ... .
De esto se deduce que el término ? de grado 2 es 1 o 2, dependiendo del punto. Se puede demostrar que en cualquier curva de género 2 hay exactamente seis puntos cuyas sucesiones son 1, 1, 2, 2, ... y el resto de los puntos tienen la sucesión genérica 1, 1, 1, 2, ... En particular, una curva de género 2 es una curva hiperelíptica. Para , siempre se cumple que, en la mayoría de los puntos, la secuencia comienza con unos, y existe un número finito de puntos con otras secuencias (véase puntos de Weierstrass).
Riemann–Roch para fibrados en rectas Utilizando la estrecha correspondencia entre divisores y haces de vectores holomorfoss en una superficie de Riemann, el teorema también puede enunciarse de una forma diferente pero equivalente: sea L un fibrado en rectas holomorfo sobre X. Sea el espacio de secciones holomorfas de L. Este espacio será de dimensión finita, y su dimensión se denota como . Sea K el haz canónico sobre X. Entonces, el teorema de Riemann–Roch establece que
.
El teorema de la sección anterior es el caso particular en el que L es un haz de puntos.
El teorema puede aplicarse para demostrar que existen g secciones holomorfas linealmente independientes de K, o 1-formas sobre X, de la siguiente manera. Tomando L como el fibrado trivial, , dado que las únicas funciones holomorfas sobre X son las constantes. El grado de L es cero, y es el fibrado trivial. Por tanto,
.
En consecuencia, , lo que demuestra que existen g formas holomorfas de grado uno.
Grado del fibrado canónico Dado que el fibrado canónico tiene , al aplicar Riemann–Roch a se obtiene
que puede reescribirse como
por tanto, el grado del haz canónico es .
Teorema de Riemann-Roch para curvas algebraicas Cada elemento de la formulación anterior del teorema de Riemann-Roch para divisores en superficies de Riemann tiene un análogo en geometría algebraica. El análogo de una superficie de Riemann es una curva algebraica C no singular sobre un cuerpo k. La diferencia de terminología (curva frente a superficie) se debe a que la dimensión de una superficie de Riemann como variedad real es dos, pero es uno como variedad compleja. La compacidad de una superficie de Riemann tiene su equivalente en la condición de que la curva algebraica sea completa, lo cual es equivalente a ser proyectiva. Sobre un cuerpo general k, no existe una noción adecuada de (co)homología singular. El llamado genus geométrico se define como
es decir, como la dimensión del espacio de 1-formas (algebraicas) definidas globalmente (véase diferencial de Kähler). Por último, las funciones meromorfas en una superficie de Riemann se representan localmente como cocientes de funciones holomorfas. Por tanto, se sustituyen por funciones racionales, que son localmente cocientes de funciones regulares. Así, si se denota por la dimensión (sobre k) del espacio de funciones racionales en la curva cuyos polos en cada punto no superan el orden del coeficiente correspondiente en D, se cumple exactamente la misma fórmula anterior:
.
donde C es una curva algebraica proyectiva no singular sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k. De hecho, la misma fórmula es válida para curvas proyectivas sobre cualquier cuerpo, salvo que el grado de un divisor debe tener en cuenta multiplicidades derivadas de las posibles extensiones del cuerpo base y los cuerpos residuales de los puntos que soportan el divisor., Section 7.3 Finalmente, para una curva propia sobre un anillo artiniano, la característica de Euler del haz de rectas asociado a un divisor viene dada por el grado del divisor (definido adecuadamente) más la característica de Euler del haz estructural ., Theorem VIII.1.4., p. 164
También se puede relajar la hipótesis de suavidad en el teorema: para una curva (proyectiva) sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, cuyos anillos locales son todos anillos de Gorenstein, se cumple el mismo enunciado anterior, siempre que el género geométrico definido anteriormente se sustituya por el genus aritmético ga, definido como
.
(Para curvas suaves, el género geométrico coincide con el aritmético). El teorema también se ha extendido a curvas singulares generales (y a variedades de dimensión superior).
Aplicaciones
Polinomio de Hilbert