En matemáticas, el divisor theta (Θ) corresponde al divisor en el sentido de la geometría algebraica definida sobre una variedad abeliana A sobre los números complejos (y principalmente polarizada) mediante el lugar de ceros de la función theta asociada. Por tanto, es una variedad algebraica de A de dimensión dim A − 1.
Teoría clásica
Resultados clásicos de Bernhard Riemann describen Θ de otra manera, en el caso de que A sea la variedad jacobiana J de una curva algebraica (superficie de Riemann) C. Existe, para una elección de punto base P en C, una aplicación estándar de C a J, mediante la interpretación de J como las clases de equivalencia lineal de divisores en C de grado 0. Es decir, Q en C se aplica a la clase de Q − P. Entonces, dado que J es un grupo algebraico, C puede sumarse a sí misma k veces en J, dando lugar a subvariedades Wk.
Si g es el genus de C, Riemann demostró que Θ es una traslación en J de Wg − 1. También describió qué puntos en Wg − 1 son no singulares: corresponden a los divisores efectivos D de grado g − 1 sin funciones meromorfas asociadas distintas de las constantes. En un lenguaje más clásico, estos D no se mueven en un sistema lineal de divisores sobre C, en el sentido de que no dominan el divisor de polos de una función no constante.
Riemann demostró además el teorema de singularidad de Riemann, identificando la multiplicidad de un punto p = clase(D) en Wg − 1 como el número de funciones meromorfas linealmente independientes cuyo divisor de polos está dominado por D, o equivalentemente como h0(O(D)), el número de secciones globales linealmente independientes del haz de rectas holomorfo asociado a D como divisor de Cartier en C.
Trabajos posteriores
El teorema de singularidad de Riemann fue extendido por George Kempf en 1973 —basándose en trabajos de David Mumford y Andreotti-Mayer— para describir las singularidades de los puntos p = class(D) en Wk para 1 ≤ k ≤ g − 1. En particular, calculó sus multiplicidades también en términos del número de funciones meromorfas independientes asociadas a D (teorema de singularidad de Riemann-Kempf).Griffiths and Harris, p.348
Más precisamente, Kempf asoció localmente J (cerca de p) a una familia de matrices provenientes de un sucesión exacta que calcula h0(O(D)), de tal manera que Wk corresponde al lugar geométrico de las matrices con rango no máximo. La multiplicidad coincide entonces con la del punto en el lugar geométrico de rango correspondiente. Explícitamente, si
h0(O(D)) = r + 1,
la multiplicidad de Wk en la clase(D) es el coeficiente binomial
Cuando k = g − 1, esto resulta en r + 1, la fórmula de Riemann.
Referencias
Bibliografía
Categoría:Curvas algebraicas Categoría:Bernhard Riemann