En geometría algebraica, la teoría de Brill-Noether, introducida por Alexander von Brill y Max Noether en 1874, es el estudio de los divisores especiales, ciertos divisores en una curva que determinan más funciones compatibles de lo que se predeciría. En lenguaje clásico, los divisores especiales se mueven sobre la curva en un sistema lineal de divisores "mayor de lo esperado".
A lo largo del artículo se considera una curva proyectiva suave sobre los números complejos (o sobre algún otro cuerpo algebraicamente cerrado).
La condición para ser un divisor especial puede formularse en términos de cohomología de haces, como la no anulación de la cohomología del haz de secciones del haz invertible o haz de rectas asociado a . Esto significa que, según el teorema de Riemann-Roch, la cohomología o el espacio de secciones holomorfas es mayor de lo esperado.
Alternativamente, según la dualidad de Serre, la condición es que existan diferenciales holomorfas con divisor en la curva.
Teoremas principales de la teoría de Brill-Noether
Para un género dado , el espacio de módulos para curvas de género debería contener un subconjunto denso que parametrizando aquellas curvas con el mínimo en cuanto a divisores especiales. Un objetivo de la teoría es "contar constantes" para dichas curvas: predecir la dimensión del espacio de divisores especiales (salvo equivalencia lineal) de un grado dado , en función de , que deben estar presentes en una curva de ese género.
El enunciado básico puede formularse en términos de la variedad de Picard de una curva suave , y del subconjunto de correspondiente a las clases de divisores de los divisores , con valores dados de y de en la notación del teorema de Riemann-Roch. Existe una cota inferior para la dimensión de este subesquema en :
llamado el número de Brill-Noether. La fórmula puede memorizarse mediante la regla mnemotécnica (utilizando los deseados y Riemann-Roch)
Para curvas suaves y para , , los resultados básicos sobre el espacio de sistemas lineales en de grado y dimensión son los siguientes:
George Kempf demostró que si , entonces no está vacío y cada componente tiene una dimensión de al menos . William Fulton y Robert Lazarsfeld demostraron que si , entonces es conexo. demostraron que si es genérico, entonces es reducido y todas las componentes tienen una dimensión exactamente igual a (por lo que, en particular, está vacío si ). David Gieseker demostró que si es genérico, entonces es suave. Según el resultado de conexidad, esto implica que es irreducible si . Otros resultados más recientes, no necesariamente en términos del espacio de sistemas lineales, son:
Eric Larson (2017) demostró que si , y , las aplicaciones de restricción son de rango máximo; esto también se conoce como la conjetura de rango máximo.
Eric Larson e Isabel Vogt (2022) demostraron que si , entonces existe una curva que interpola puntos generales en si y solo si , salvo en 4 casos excepcionales:
Conjetura de rango máximo Sea una curva general de género g inmersa mediante una serie lineal general de grado d. La conjetura de rango máximo afirma que las aplicaciones de restricción son de rango máximo. Esto determina la función de Hilbert de .
Su primera demostración fue publicada por Eric Larson el 14 de noviembre de 2017 mientras cursaba estudios de posgrado en el Instituto de Tecnología de Massachusetts.
Referencias
Bibliografía
Categoría:Curvas algebraicas Categoría:Superficies algebraicas