En matemáticas y específicamente en geometría algebraica, la dimensión de una variedad algebraica puede definirse de varias formas equivalentes.
Algunas de estas definiciones son de naturaleza geométrica, mientras que otras son puramente algebraicas y se basan en el álgebra conmutativa. Algunas se restringen a variedades algebraicas, mientras que otras se aplican también a cualquier conjunto algebraico. Algunas son intrínsecas, al ser independientes de cualquier embebido de la variedad en un espacio afín o de un espacio proyectivo, mientras que otras están relacionadas con dicho embebido.
Dimensión de un conjunto algebraico afín
Sea un cuerpo, y sea una extensión algebraica cerrada.
Un conjunto algebraico afín es el conjunto de los ceros comunes en de los elementos de un ideal en un anillo de polinomios . Sea el K-álgebra de las funciones polinómicas sobre . La dimensión de es cualquiera de los siguientes números enteros. No cambia si se amplía , si se sustituye por otra extensión algebraicamente cerrada de y si se sustituye por otro ideal que tenga los mismos ceros (es decir, que tenga el mismo radical). La dimensión también es independiente de la elección de coordenadas; en otras palabras, no cambia si las se sustituyen por combinaciones lineales independientes de ellas.
La dimensión de es
La longitud máxima de las cadenas de subvariedades (irreducibles) no vacías y distintas de .
Esta definición generaliza una propiedad de la dimensión de un Espacio euclídeo o de un espacio vectorial. Por tanto, es probablemente la definición que ofrece la descripción intuitiva más sencilla de la noción.
La dimensión de Krull del anillo coordenado .
Esta es la transcripción de la definición anterior al lenguaje del álgebra conmutativa, siendo la dimensión de Krull la longitud máxima de las cadenas de ideal primo de .
La dimensión de Krull máxima de los anillos locales en los puntos de .
Esta definición muestra que la dimensión es una propiedad local si es irreducible. Si es irreducible, resulta que todos los anillos locales en los puntos de tienen la misma dimensión de Krull.Chapter 11 of Atiyah, Michael Francis; Macdonald, I.G. (1969), Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, . Por lo tanto:
Si es una variedad, entonces corresponde a la dimensión de Krull del anillo local en cualquier punto de .
Esto reformula la definición anterior en un lenguaje más geométrico.
La dimensión máxima de los espacios vectoriales tangentes en los puntos no singulares de .
Esto relaciona la dimensión de una variedad con la de una variedad diferenciable. Más concretamente, si se define sobre los números reales, entonces el conjunto de sus puntos reales regulares, si no está vacía, es una variedad diferenciable que tiene la misma dimensión tanto como variedad que como variedad diferenciable.
Si es una variedad, la dimensión del espacio vectorial tangente en cualquier punto no singular de .
Este es el análogo algebraico del hecho de que una variedad conexa tiene dimensión constante. Esto también puede deducirse del resultado expuesto debajo de la tercera definición y del hecho de que la dimensión del espacio tangente es igual a la dimensión de Krull en cualquier punto no singular (véase espacio tangente de Zariski).
El número de hiperplanos o hipersuperficies en posición general necesarios para obtener una intersección con que se reduzca a un número finito y no nulo de puntos.
Esta definición no es intrínseca, ya que se aplica únicamente a conjuntos algebraicos que están explícitamente inmersos en un espacio afín o proyectivo.
La longitud máxima de una sucesión regular en el anillo de coordenadas .
Esta es la traducción algebraica de la definición anterior.
La diferencia entre y la longitud máxima de las sucesiones regulares contenidas en .
Esta es la traducción algebraica del hecho de que la intersección de hipersuperficies generales es un conjunto algebraico de dimensión .
El grado del polinomio de Hilbert de . El grado del denominador de la serie de Hilbert de .
Esto permite, mediante un cálculo de la base de Gröbner, determinar la dimensión del conjunto algebraico definido por un sistema de ecuaciones algebraicas dado. Además, la dimensión no varía si los polinomios de la base de Gröbner se sustituyen por sus monomios principales, y si estos monomios principales se sustituyen por su radical (monomios obtenidos eliminando los exponentes). Así:Cox, David A.; Little, John; O'Shea, Donal. Ideals, varieties, and algorithms. An introduction to computational algebraic geometry and commutative algebra. Fourth edition. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer, Cham, 2015.
La dimensión de Krull del anillo de Stanley-Reisner , donde es el radical del ideal inicial de para cualquier orden monomial admisible (el ideal inicial de es el conjunto de todos los monomios líderes de los elementos de ). La dimensión del complejo simplicial definido por este anillo de Stanley-Reisner. Si es un ideal primo (es decir, es una variedad algebraica), la extensión transcendente sobre del cuerpo de fracciones de .
Esto permite demostrar fácilmente que la dimensión es invariante bajo la equivalencia birracional.
Dimensión de un conjunto algebraico proyectivo
Sea una variedad algebraica definida como el conjunto de ceros comunes de un ideal homogéneo en un anillo de polinomios sobre un cuerpo , y sea el álgebra graduada de los polinomios sobre V.
Se aplican todas las definiciones de la sección anterior, con la salvedad de que, cuando o aparecen explícitamente en la definición, el valor de la dimensión debe reducirse en una unidad. Por ejemplo, la dimensión de es una unidad menor que la dimensión de Krull de .
Cálculo de la dimensión
Dado un sistema de ecuaciones algebraicas sobre un cuerpo algebraicamente cerrado , puede resultar difícil calcular la dimensión del conjunto algebraico que define.
Sin información adicional sobre el sistema, existe un único método práctico, que consiste en calcular una base de Gröbner y deducir el grado del denominador de la serie de Hilbert del ideal generado por las ecuaciones.
El segundo paso, que suele ser el más rápido, puede acelerarse de la siguiente manera: en primer lugar, se sustituye la base de Gröbner por la lista de sus monomios líderes (esto ya se hace para el cálculo de la serie de Hilbert). A continuación, cada monomio como se sustituye por el producto de las variables que lo componen: . Entonces, la dimensión es el tamaño máximo de un subconjunto S de las variables tal que ninguno de estos productos de variables dependa únicamente de las variables de S.
Este algoritmo está implementado en varios sistemas algebraicos computacionales. Por ejemplo, en Maple se trata de la función Groebner[HilbertDimension], y en Macaulay2, de la función dim.
Dimensión real
La dimensión real de un conjunto de puntos reales, típicamente un conjunto semialgebraico, es la dimensión de su clausura de Zariski. Para un conjunto semialgebraico , la dimensión real es uno de los siguientes enteros iguales:
La dimensión real de es la dimensión de su clausura de Zariski. La dimensión real de es el entero máximo tal que existe un homeomorfismo de en . La dimensión real de es el entero máximo tal que existe una proyección de sobre un subespacio de dimensión con un interior no vacío.
Para un conjunto algebraico definido sobre los números reales (es decir, definido por polinomios con coeficientes reales), puede ocurrir que la dimensión real del conjunto de sus puntos reales sea menor que su dimensión como conjunto semialgebraico. Por ejemplo, la superficie algebraica de ecuación es una variedad algebraica de dimensión dos, que tiene un único punto real (0, 0, 0) y, por tanto, tiene dimensión real cero.
La dimensión real es más difícil de calcular que la dimensión algebraica. Para el caso de una hipersuperficie real (es decir, el conjunto de soluciones reales de una única ecuación polinómica), existe un algoritmo probabilístico para calcular su dimensión real.
Véase también Dimensión de un espacio vectorial Teoría de la dimensión (álgebra) (en inglés) Dimensión de un esquema (en inglés)
Referencias
Categoría:Variedades algebraicas Categoría:Dimensión