En matemáticas, una superficie algebraica es una variedad algebraica de dimensión dos. Por lo tanto, es la solución de un sistema de ecuaciones polinómicas, en el que existen dos direcciones independientes en cada punto. Un ejemplo de superficie algebraica es la esfera, que se determina mediante la ecuación polinómica El estudio de la geometría intrínseca de las superficies algebraicas es un tema central de la geometría algebraica. La teoría es mucho más compleja que para las curvas algebraicas (casos unidimensionales) y fue desarrollada sustancialmente por la escuela italiana de geometría algebraica a finales del siglo XIX y principios del XX.

Sigue siendo un campo de investigación activo.

En los casos más simples, las superficies algebraicas se estudian como variedades algebraicas sobre los números complejos. Por ejemplo, la familiar esfera (para reales) se convierte en afín compleja (una cuádrica), que incorpora simultáneamente la esfera y los hiperboloides de una y de dos hojas. Esto permite posponer algunas complicaciones (como la topología: si la superficie es conexa o simplemente conexa). Las superficies de grado superior incluyen, por ejemplo, la superficie de Kummer. La clasificación de las superficies algebraicas es mucho más compleja que la de las curvas algebraicas, que tienen dimensión uno, y ya de por sí es bastante complicada.

Las superficies algebraicas, al igual que las curvas algebraicas, pueden presentar singularidades, que son puntos donde no existe un plano tangente. Una singularidad puede ser un punto de autointersección o un punto donde el número de dimensiones "libres" puede disminuir, como en una cúspide. La teoría de las catástrofes en geometría está estrechamente relacionada con la clasificación de las singularidades de las superficies. Asimismo, las superficies algebraicas pueden definirse sobre otros cuerpos distintos de los números complejos. Este artículo se centra principalmente en el caso complejo.

Clasificación mediante la dimensión de Kodaira

En el caso de la dimensión uno, las variedades se clasifican únicamente mediante su género, pero en la dimensión dos es necesario distinguir su genus aritmético y su genus geométrico , ya que no se puede distinguir birracionalmente solo el género topológico. Por lo tanto, se introduce el concepto de irregularidad para establecer la clasificación de las variedades. A continuación se presenta un resumen de los resultados (en detalle, para cada tipo de superficie se hace referencia a cada redirección):

Ejemplos de superficies algebraicas incluyen (κ es su dimensión de Kodaira):

κ = −∞: plano proyectivo, cuádricas en P3, superficies cúbicas, superficie de Veronese, superficie de del Pezzo y superficies regladas. κ = 0: superficies K3, superficies abelianas, superficies de Enriques y superficies hiperelípticas. κ = 1: superficies elípticas. κ = 2: superficies de tipo general.

Para más ejemplos, véase lista de superficies algebraicas.

Los primeros cinco ejemplos son, de hecho, birracionalmente equivalentes. Es decir, por ejemplo, una superficie cúbica tiene un cuerpo de funciones isomorfa al plano proyectivo, siendo las funciones racionales en dos indeterminadas. El producto cartesiano de dos curvas también proporciona ejemplos.

Geometría birracional de superficies La geometría birracional de superficies algebraicas es rica, debido al proceso de explosión (también conocido como transformación monoide), bajo la cual un punto se reemplaza por la "curva" de todas las direcciones tangentes límite que llegan a él (una recta proyectiva). Ciertas curvas también pueden ser "descendentes", pero existe una restricción (el número de autointersección debe ser ≤1).

Teorema de Castelnuovo Uno de los teoremas fundamentales para la geometría birracional de superficies es teorema de Castelnuovo. Esto establece que cualquier aplicación birracional entre superficies algebraicas viene dada por una secuencia finita de explosiones y reducciones.

Propiedades La propiedad criterio de Nakai establece que:

Un divisor D en una superficie S es amplio si y solo si D2 > 0 y para toda curva irreducible C en S, D•C > 0.

Los divisores amplios poseen una propiedad interesante: son la imagen inversa de algún fibrado hiperplano del espacio proyectivo, cuyas propiedades son bien conocidas. Sea el grupo abeliano formado por todos los divisores en S. Entonces, debido a la propiedad teorema de intersección:

se considera como una forma cuadrática. Sea:

Entonces, se convierte en un grupo de clases equivalente numérico de S y

también se convierte en una forma cuadrática en , donde es la imagen de un divisor D en S (en lo sucesivo, la imagen se abrevia como D).

Para un fibrado lineal amplio H en S, la definición:

se utiliza en la versión para superficies del teorema del índice de Hodge:

para , es decir, la restricción de la forma de intersección a es una forma cuadrática definida negativa.

Este teorema se demuestra utilizando el criterio de Nakai y el teorema de Riemann-Roch para superficies. El teorema del índice de Hodge se utiliza en la demostración de Deligne de la conjetura de Weil.

Entre los resultados básicos sobre superficies algebraicas se incluyen el teorema del índice de Hodge y la división en cinco grupos de clases de equivalencia birracionales denominadas clasificación de superficies algebraicas. La clase de "tipo general", la dimensión de Kodaira 2, es muy amplia (por ejemplo, una superficie no singular de grado 5 o superior en P3 pertenece a ella).

Existen tres invariantes en la teoría de Hodge esenciales de una superficie. De ellos, h1,0 se denominaba clásicamente irregularidad y se denotaba por q; y h2,0 se denominaba género geométrico pg. La tercera, h1,1, no es un invariante birracional, porque la explosión puede sumar curvas completas, con clases en H1,1. Se sabe que los ciclos de Hodge son algebraicas y que su equivalencia algebraica coincide con su equivalencia homológica, de modo que h1,1 es una cota superior para ρ, el rango del grupo de Néron-Severi. El genus aritmético pa es la diferencia:

género geométrico ≤ irregularidad.

Esto explica por qué la irregularidad recibió ese nombre, como una especie de «término de error».

Teorema de Riemann-Roch para superficies

El teorema de Riemann-Roch para superficies fue formulado por primera vez por Max Noether. Las familias de curvas en superficies pueden clasificarse, en cierto sentido, y dan lugar a gran parte de su interesante geometría.

Véase también Programa modelo mínimo

Referencias

Bibliografía Dolgachev, I.V. (2001) , "Algebraic surface", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

Enlaces externos Programa gratuito SURFER para visualizar superficies algebraicas en tiempo real, con una galería de usuarios. SingSurf, un visor 3D interactivo para superficies algebraicas. Página sobre superficies algebraicas iniciada en 2008 Resumen y reflexiones sobre el diseño de superficies algebraicas

Superficies algebraicas