En matemáticas, la explosión o expansión (blowing up o blowup en inglés) es un tipo de transformación geométrica que reemplaza un subespacio de un espacio dado por el espacio de todas las direcciones que apuntan fuera de ese subespacio. Por ejemplo, la explosión de un punto en un plano reemplaza el punto por el espacio tangente proyectivizado en ese punto. Una imagen intuitiva de esta transformación es la de ampliar una fotografía para agrandar una parte de la imagen, lo que no tiene nada que ver con el concepto genérico de explosión. La operación inversa se llama implosión o reducción.
Las explosiones son la transformación más fundamental en geometría birracional, porque todo morfismo birracional entre variedades proyectivas es una explosión. El teorema de factorización débil establece que todo mapa birracional puede factorizarse como una composición de explosiones particularmente simples. El grupo de Cremona, grupo de automorfismos birracionales del plano, se genera mediante explosiones.
Además de su importancia para describir transformaciones birracionales, las explosiones también constituyen una forma importante de construir nuevos espacios. Por ejemplo, la mayoría de los procedimientos para la resolución de singularidades se valen de la explosión de singularidades hasta que se vuelven suaves. Como consecuencia, las explosiones pueden utilizarse para resolver las singularidades de las aplicaciones birracionales.
Clásicamente, las explosiones se definían extrínsecamente, definiéndolas primero en espacios como el espacio proyectivo mediante una construcción explícita en coordenadas y luego definiéndolas en otros espacios en términos de una inmersión. Esto se refleja en parte de la terminología, como el término clásico transformación monoidal. En el contexto contemporáneo, la geometría algebraica trata la explosión como una operación intrínseca en una variedad algebraica. Desde esta perspectiva, una explosión es la forma universal (en el sentido de la teoría de categorías) de convertir una subvariedad en un divisor de Cartier.
Una explosión también puede denominarse transformación monoidal, transformación cuadrática local, dilatación, proceso σ o mapa de Hopf.
Explosión de un punto en un plano El caso más simple de una explosión es la explosión de un punto en un plano. La mayoría de las características generales de la explosión se pueden observar en este ejemplo.
La explosión tiene una descripción sintética como correspondencia de incidencia. Debe recordarse que el grasmaniano parametriza el conjunto de todas las rectas que pasan por un punto en el plano. La explosión del plano proyectivo en el punto , que se denota por , es:
Aquí, denota otro punto en y es un elemento de la variedad de Grassmann. es una variedad proyectiva porque es una subvariedad cerrada de un producto de variedades proyectivas. Incluye un morfismo natural a que transforma el par en . Este morfismo es un isomorfismo en el subconjunto abierto de todos los puntos con porque la recta está determinada por esos dos puntos. Cuando , la recta puede ser cualquier recta que pase por . Estas rectas corresponden al espacio de direcciones que pasa por , el cual es isomorfo a . Este se denomina divisor excepcional y, por definición, es la proyección del espacio normal en . Dado que es un punto, el espacio normal es el mismo que el espacio tangente, por lo que el divisor excepcional es isomorfo al espacio tangente proyectado en .
Para obtener coordenadas en la explosión, se pueden escribir ecuaciones para la correspondencia de incidencia anterior. Se define en coordenadas homogéneas , donde es el punto . Por la condición de dualidad, es isomorfo a , por lo que se puede darle coordenadas homogéneas . Una recta es el conjunto de todos los tales que . Por lo tanto, la explosión se puede describir como:
La explosión es un isomorfismo que se aleja de , y al trabajar en el plano afín en lugar del plano proyectivo, se pueden obtener ecuaciones más simples para la explosión. Tras realizar una homografía, se puede asumir que . Se escribe y para las coordenadas en el plano afín . La condición implica que , por lo que se puede reemplazar el grassmanniano por . Entonces, la explosión es de la variedad:
Es más común cambiar las coordenadas para invertir uno de los signos. En ese caso, la explosión se puede escribir como:
Esta ecuación es más fácil de generalizar que la anterior.
La explosión se puede visualizar fácilmente si se elimina el punto infinito del grassmanniano, por ejemplo, estableciendo , y se obtiene la ecuación estándar del superficie del paraboloide en el espacio tridimensional.
La explosión también se puede describir directamente usando coordenadas en el espacio normal al punto. Nuevamente, se trabaja en el plano afín . El espacio normal al origen es el espacio vectorial , donde es el ideal máximo del origen. Algebraicamente, la proyectividad de este espacio vectorial es la construcción Proy de su álgebra simétrica, es decir,
En este ejemplo, se describe concretamente como:
donde y tienen grado 0 y y tienen grado 1.
Sobre los números reales o complejos, la explosión tiene una descripción topológica como suma conexa . Supóngase que es el origen en , y denótese como la recta del infinito. tiene una aplicación de inversión que transforma en . es inversiva con respecto a la esfera unitaria : fija , conserva cada línea que pasa por el origen e intercambia el interior de la esfera con el exterior. se extiende a una aplicación continua enviando la recta del infinito al origen. Esta extensión, que también se denota como , puede usarse para construir la explosión. Sea el complemento de la bola unitaria. La explosión es la variedad obtenida al adjuntar dos copias de a lo largo de . viene con una aplicación a que es la identidad en la primera copia de y en la segunda copia de . Esta aplicación es un isomorfismo que se aleja de , y la fibra sobre es la recta en el infinito en la segunda copia de . Cada punto de esta recta corresponde a una recta única que pasa por el origen, por lo que la fibra sobre corresponde a las posibles direcciones normales que pasan por el origen.
Para , este proceso debería producir una variedad orientada. Para que esto ocurra, las dos copias de deben tener orientaciones opuestas. En símbolos, es , donde es con la orientación opuesta a la estándar.
Explosión de puntos en el espacio complejo Sea el origen en el espacio n-dimensional complejo, . Es decir, es el punto donde las n funciones de coordenadas se anulan simultáneamente. Sea un espacio proyectivo complejo de dimensión (n - 1) con coordenadas homogéneas . Sea el subconjunto de × que satisface simultáneamente las ecuaciones para i, j = 1, ..., n. La proyección
induce naturalmente una aplicación holomorfa
Esta aplicación π (o, a menudo, el espacio ) se denomina explosión de .
El divisor excepcional se define como la imagen inversa del lugar geométrico bajo π. Es fácil ver que
es una copia del espacio proyectivo, y es un divisor efectivo. Fuera de , π es un isomorfismo entre y ; y también es una aplicación birracional entre y .
Si en cambio se considera la proyección holomorfa:
se obtiene el haz de rectas tautológico de y se puede identificar el divisor excepcional con su sección cero, a saber, , que asigna a cada punto el elemento cero en la fibra sobre .
Explosión de subvariedades en variedades complejas De forma más general, se puede explotar cualquier codimensión de una subvariedad compleja de . Supóngase que es el lugar geométrico de las ecuaciones , y sean coordenadas homogéneas en . Entonces, la explosión es el lugar geométrico de las ecuaciones para todo , en el espacio .
De forma aún más general, se puede explotar cualquier subvariedad de cualquier variedad compleja aplicando esta construcción localmente. El efecto es, como antes, reemplazar el lugar geométrico de explosión por el divisor excepcional . En otras palabras, la aplicación de explosión
es una aplicación birracional que, fuera de , induce un isomorfismo y, en , un fibrado localmente trivial con fibra . En efecto, la restricción se interpreta naturalmente como la proyectividad de un haz normal de en .
Dado que es un divisor liso (de codimensión 1), su fibrado normal es un haz de rectas. Es fácil demostrar que se interseca a sí mismo negativamente. Esto significa que su fibrado normal no posee secciones holomorfas; es el único representante complejo liso de su clase de homología en . Supóngase que pudiera perturbarse a sí mismo para formar otra subvariedad compleja de la misma clase. En ese caso, las dos subvariedades se intersecarían positivamente —como siempre lo hacen las subvariedades complejas—, lo que contradice la autointersección negativa de . Por esta razón, el divisor se denomina excepcional.
Sea una subvariedad de distinta de . Si es disjunta de , entonces no se ve afectada esencialmente por la explosión a lo largo de . Sin embargo, si interseca a , entonces existen dos análogos distintos de en la explosión . Uno es la transformación propia (o transformación estricta), que es la clausura de ; su fibrado normal en es típicamente diferente del de en . El otro es la transformación total, que incorpora parte o la totalidad de , que esencialmente el retroceso de en cohomología.
Explotar esquemas Para lograr la explosión en su mayor generalidad, sea X un esquema, y sea un haz coherente de ideales sobre X. La ampliación de X con respecto a es un esquema junto con un morfismo
tal que el retroceso es un haz invertible, caracterizado por esta propiedad universal: para cualquier morfismo f: Y → X tal que es una gavilla invertible, f se factoriza únicamente a través de π.
Nótese que
tiene esta propiedad; así es como se construye la explosión (véase también álgebra de Rees). Aquí Proj es la construcción Proy sobre haces graduados de anillos conmutativos.
Divisores excepcionales El divisor excepcional de una ampliación es el subesquema definido por la imagen inversa del haz ideal , que a veces se denota como . De la definición de explosión en términos de Proj se deduce que este subesquema E está definido por el haz ideal . Este haz ideal es también el relativo para π.
π es un isomorfismo alejado del divisor excepcional, pero el divisor excepcional no necesita estar en el lugar excepcional de π. Es decir, π puede ser un isomorfismo en E. Esto sucede, por ejemplo, en la situación trivial en la que ya es un haz invertible. En particular, en tales casos el morfismo π no determina el divisor excepcional. Otra situación en la que el lugar excepcional puede ser estrictamente más pequeño que el divisor excepcional es cuando X tiene singularidades. Por ejemplo, sea X el cono afín sobre . X se puede dar como el lugar geométrico de fuga de en 'A4. Los ideales y definen dos planos, cada uno de los cuales pasa por el vértice de X. Lejos del vértice, estos planos son hipersuperficies en X, por lo que la ampliación es un isomorfismo allí. El lugar excepcional de ampliación de cualquiera de estos planos está, por tanto, centrado sobre el vértice del cono y, en consecuencia, es estrictamente más pequeño que el divisor excepcional.
Otros ejemplos Explosiones de subespacios lineales Sea un espacio proyectivo dimensional . Se corrige un subespacio lineal de dimensión . Hay varias formas explícitas de describir la explosión de a lo largo de . Supóngase que tiene coordenadas . Después de cambiar las coordenadas, se puede suponer que . La ampliación puede estar incrustada en . Sean las coordenadas del segundo factor. Debido a que está definido por una secuencia regular, la explosión está determinada por la desaparición de los menores de la matriz de dos por dos.