En matemáticas, existen dos tipos de curvas hiperelípticas, una clase de curvas algebraicas: las curvas hiperelípticas reales y las curvas hiperelípticas imaginarias que se diferencian por el número de puntos en el infinito. Existen curvas hiperelípticas para cada genus . La fórmula general de una curva hiperelíptica sobre un cuerpo finito viene dada por
donde satisface ciertas condiciones. En esta página, se describen con más detalle las curvas hiperelípticas reales, que son curvas con dos puntos en el infinito, mientras que las curvas hiperelípticas imaginarias tienen un solo punto en el infinito.
Definición Una curva hiperelíptica real de género g sobre K se define mediante una ecuación de la forma , donde tiene un grado no mayor que g+1, mientras que debe tener un grado de 2g+1 o 2g+2. Esta curva es una curva no singular donde ningún punto en la clausura algebraica de satisface la ecuación de la curva y ambas ecuaciones en derivadas parciales: y . El conjunto de puntos -racionales (finitos) en C viene dado por
donde es el conjunto de puntos en el infinito. Para curvas hiperelípticas reales, hay dos puntos en el infinito, y . Para cualquier punto , el punto opuesto a viene dado por ; es el otro punto con coordenada x de valor a que también se encuentra en la curva.
Ejemplo Sea donde
sobre . Dado que y tienen grado 6, es una curva de género g = 2.
La versión homogénea de la ecuación de la curva viene dada por
Tiene un único punto en el infinito dado por (0:1:0), pero este punto es singular. La explosión de tiene dos puntos distintos en el infinito, que se denotan como y . Por lo tanto, esta curva es un ejemplo de curva hiperelíptica real.
En general, toda curva dada por una ecuación donde f tiene grado par tiene dos puntos en el infinito y es una curva hiperelíptica real, mientras que aquellas donde f tiene grado impar tienen un único punto en la explosión sobre (0:1:0) y, por lo tanto, son curvas hiperelípticas imaginarias. En ambos casos, esto supone que la parte afín de la curva no es singular (véanse las condiciones sobre las derivadas anteriores).
Aritmética en una curva hiperelíptica real En una curva hiperelíptica real, la suma ya no se define sobre puntos como en una curva elíptica, sino sobre divisores y el jacobiano. Sea una curva hiperelíptica de género g sobre un cuerpo finito K. Un divisor sobre es una suma finita formal de puntos sobre . Se escribe:
donde y para casi todo .
El grado de se define por:
Se dice que está definida sobre si para todo automorfismo σ de sobre . El conjunto de divisores de definidos sobre forma un grupo abeliano aditivo bajo la regla de suma:
El conjunto de todos los divisores de grado cero de definidos sobre es un subgrupo de .
Considérese otro ejemplo:
Sean y . Si se suman, se obtiene . El grado de es y el grado de es . Por lo tanto,
Para los polinomios , el divisor de se define como
Si la función tiene un polo en un punto , entonces es el orden de anulación de en . Supóngase que son polinomios en . El divisor de la función racional se llama divisor principal y se define por . Denótese el grupo de divisores principales por , es decir, . El jacobiano de sobre se define por . El grupo de factores también se llama grupo de clases de divisores de . Los elementos que se definen sobre forman el grupo . Se denota por la clase de en .
Existen dos formas canónicas de representar las clases de divisores para curvas hiperelípticas reales que tienen dos puntos en el infinito . La primera consiste en representar un divisor de grado cero mediante tal que , donde , y si . El representante de se denomina entonces semirreducido. Si satisface la condición adicional , entonces el representante se denomina reducido. Nótese que está permitido para algún i. De ello se deduce que cada clase de divisor de grado 0 contiene un representante único con
donde es un divisor coprimo con , y .
La otra representación es equilibrada en el infinito. Sea , obsérvese que este divisor es -racional incluso si los puntos y no lo son de forma independiente. Escríbase el representante de la clase como , donde se denomina parte afín y no contiene a ni a . Sea . Si es par, entonces
Si es impar, entonces
Por ejemplo, sean las partes afines de dos divisores dadas por:
y
entonces los divisores equilibrados son
y
Transformación de una curva hiperelíptica real a una curva hiperelíptica imaginaria
Sea una curva cuadrática real sobre un cuerpo . Si existe un divisor primo ramificado de grado 1 en , entonces se puede realizar una transformación birracional a una curva cuadrática imaginaria.
Se dice que un punto (finito o infinito) está ramificado si es igual a su propio opuesto. Significa que , es decir, que . Si está ramificado, entonces es un divisor primo ramificado.
La curva hiperelíptica real de género con un punto finito racional ramificado es birracionalmente equivalente a un modelo imaginario de género , es decir, y los campos de funciones son iguales . Aquí:
En el presente ejemplo , donde , h(x) es igual a 0. Para cualquier punto , es igual a 0, por lo que el requisito para que P se ramifique se convierte en . Sustituyendo y , se obtiene , donde , es decir, .
De (), se obtiene y . Para g= 2, se tiene que .
Por ejemplo, sea , entonces y , se obtiene:
Para eliminar los denominadores, esta expresión se multiplica por , y entonces
dando la curva
donde:
es una curva cuadrática imaginaria, ya que tiene grado .
Referencias
Categoría:Curvas algebraicas