Una curva hiperelíptica es un tipo particular de curva algebraica. Existen curvas hiperelípticas de cada genus . Si el género de una curva hiperelíptica es igual a 1, simplemente se denomina curva elíptica. Por lo tanto, las curvas hiperelípticas pueden verse como generalizaciones de las curvas elípticas. Existe una estructura de grupo bien conocida en el conjunto de puntos que se encuentran sobre una curva elíptica sobre algún cuerpo , que se puede describir geométricamente con cuerdas y tangentes. Generalizar esta estructura de grupo al caso hiperelíptico no es sencillo. No se puede definir la misma ley de grupo en el conjunto de puntos que se encuentran sobre una curva hiperelíptica. En cambio, se puede definir una estructura de grupo en el llamado jacobiano de una curva hiperelíptica. Los cálculos difieren según el número de puntos en el infinito. Las curvas hiperelípticas imaginarias son curvas hiperelípticas con exactamente 1 punto en el infinito: las curvas hiperelípticas reales tienen dos puntos en el infinito.

Definición formal Las curvas hiperelípticas pueden definirse sobre cuerpos de cualquier característica. Por lo tanto, se considera un cuerpo arbitrario y su clausura . Una curva hiperelíptica (imaginaria) de género sobre viene dada por una ecuación de la forma

donde es un polinomio de grado no mayor que y es un polinomio mónico de grado . Además, se requiere que la curva no tenga puntos singulares. En el presente contexto, esto implica que ningún punto satisface tanto como las ecuaciones y . Esta definición difiere de la definición de una curva hiperelíptica general en el hecho de que también puede tener grado en el caso general. De ahora en adelante, se omite el adjetivo imaginario y simplemente se habla de curvas hiperelípticas, como se hace a menudo en la bibliografía al uso. Nótese que el caso corresponde a siendo un polinomio cúbico, lo que concuerda con la definición de una curva elíptica. Si se considera que la curva se encuentra en el plano proyectivo con coordenadas , se ve que hay un punto particular que se encuentra en la curva, a saber, el punto del infinito denotado por . Así que se podría escribir .

Supóngase que el punto distinto de se encuentra sobre la curva y considérese . Como se puede simplificar a , se ve que también es un punto sobre la curva. se denomina opuesto de , y se denomina punto de Weierstrass si , es decir, . Además, el opuesto de se define simplemente como .

Definición alternativa La definición de una curva hiperelíptica se puede simplificar ligeramente si se requiere que la característica de sea distinta de 2. Para comprobarlo, se considera el cambio de variables y , lo cual tiene sentido si característica. Bajo este cambio de variables, se reescribe como que, a su vez, puede reescribirse como . Como , se sabe que y por lo tanto es un polinomio mónico de grado . Esto significa que sobre un cuerpo con característica toda curva hiperelíptica de género es isomorfa a una dada por una ecuación de la forma donde es un polinomio mónico de grado y la curva no tiene puntos singulares. Nótese que para curvas de esta forma es fácil comprobar si se cumple el criterio de no singularidad. Un punto en la curva es singular si y solo si y . Como y , debe ser el caso que y por lo tanto es una raíz múltiple de . Se concluye que la curva no tiene puntos singulares si y solo si no tiene raíces múltiples. Aunque la definición de una curva hiperelíptica es bastante sencilla cuando característica, no se deben olvidar los campos de característica 2, ya que la criptografía de curva hiperelíptica hace un uso extensivo de dichos campos.

Ejemplo

Como ejemplo, considérese , donde sobre . Dado que tiene grado 5 y todas sus raíces son distintas, es una curva de género . Su gráfica se muestra en la Figura 1.

A partir de esta imagen, resulta evidente que no se puede utilizar el método de cuerdas y tangentes para definir una ley de grupo en el conjunto de puntos de una curva hiperelíptica. La ley de grupo en curvas elípticas se basa en el hecho de que una línea recta que pasa por dos puntos situados en una curva elíptica tiene un único tercer punto de intersección con la curva. Nótese que esto siempre se cumple, ya que se encuentra sobre la curva. A partir de la gráfica de , se observa que esto no tiene por qué cumplirse para una curva hiperelíptica arbitraria. De hecho, el teorema de Bézout establece que una línea recta y una curva hiperelíptica de género 2 se intersecan en 5 puntos. Por lo tanto, una línea recta que pasa por dos puntos que se encuentran en no tiene un tercer punto de intersección único, sino que tiene otros tres puntos de intersección.

Anillo de coordenadas El anillo de coordenadas de sobre se define como:

El polinomio es irreducible sobre , por lo que:

es un dominio de integridad.

Nótese que cualquier polinomio se puede escribir de forma única como:

con

Norma y grado El conjugado de una función polinómica en se define como:

La norma de es la función polinómica . Nótese que , por lo que es un polinomio en una sola variable.

Si , entonces el grado de se define como:

Propiedades:

Cuerpo de funciones El cuerpo de funciones de sobre es el cuerpo de fracciones de , y el campo de funciones de sobre es el campo de fracciones de . Los elementos de se denominan funciones racionales en .

Para una función racional y un punto finito en , se dice que está definido en si existen funciones polinómicas tales que y , y entonces el valor de en es:

Para un punto en que no es finito, es decir, = , como: Si , entonces , es decir, R tiene un cero en O. Si , entonces no está definido, es decir, R tiene un polo en O. Si , entonces es la razón de los coeficientes de y .

Para y : Si , se dice que tiene un cero en . Si no está definido en , se dice que tiene un polo en , lo que se escribe .

Orden de una función polinómica en un punto Para y , el orden de en se define como: si es un punto finito que no es de Weierstrass. Aquí, es la mayor potencia de que divide tanto a como a . Escríbase y, si , entonces es la mayor potencia de que divide a ; de lo contrario, .

si es un punto de Weierstrass finito, con y como se indicó anteriormente.

si .

El divisor y el jacobiano Para definir el jacobiano, primero se necesita conocer la noción de divisor. Considérese una curva hiperelíptica sobre un cuerpo . Se define un divisor como una suma formal de puntos en , es decir, donde y, además, es un conjunto finito. Esto significa que un divisor es una suma formal finita de múltiplos escalares de puntos. Nótese que no existe una simplificación de dada por un solo punto (como cabría esperar de la analogía con las curvas elípticas. Además, se define el grado de como . El conjunto de todos los divisores de la curva forma un grupo abeliano donde la suma se define punto por punto como sigue: . Es fácil ver que actúa como el elemento neutro y que el inverso de es igual a . El conjunto de todos los divisores de grado 0 se puede comprobar fácilmente como un subgrupo de . Demostración. Considérese la aplicación definida por ; se observa que forma un grupo bajo la suma usual. Entonces y, por lo tanto, es un homomorfismo de grupos. Ahora bien, es el kernel de este homomorfismo y, por lo tanto, es un subgrupo de .

Considérese una función . Entonces se puede observar la suma formal div. Aquí denota el orden de en . Se tiene que ord si tiene un polo de orden en , si está definida y no es cero en y si tiene un cero de orden en .Isabelle Déchène, The Picard Group, or how to build a group from a set Se puede demostrar que tiene solo un número finito de ceros y polos, y por lo tanto solo un número finito de los ord son distintos de cero. Esto implica que div es un divisor. Además, como y son divisores de grado 0, también lo es. Estos divisores, es decir, los que provienen de alguna función racional , se denominan divisores principales, y el conjunto de todos los divisores principales es un subgrupo de . Demostración: El elemento identidad proviene de un función constante distinto de cero. Supóngase que son dos divisores principales que provienen de y , respectivamente. Entonces, proviene de la función , y por lo tanto, también es un divisor principal. Se concluye que es cerrado bajo la suma y los inversos, convirtiéndolo en un subgrupo.

Ahora se puede definir el grupo cociente , que se denomina jacobiano o grupo de Picard de . Dos divisores se denominan equivalentes si pertenecen al mismo elemento de , lo cual ocurre si y solo si es un divisor principal. Considérese, por ejemplo, una curva hiperelíptica sobre un cuerpo y un punto en . Para , la función racional tiene un cero de orden tanto en como en , y tiene un polo de orden en . Por lo tanto, se encuentra que y se puede simplificarlo a si es un punto de Weierstrass.

Ejemplo: el jacobiano de una curva elíptica Para las curvas elípticas, el jacobiano resulta ser isomorfo al grupo usual del conjunto de puntos de esta curva; esto es básicamente un corolario del teorema de Abel-Jacobi. Para verlo, considérese una curva elíptica sobre un cuerpo . El primer paso es relacionar un divisor con cada punto de la curva. A un punto en se le asocia el divisor , en particular , vinculado al elemento identidad . De manera sencilla, se puede relacionar un elemento de con cada punto vinculando a la clase de , denotada por . Entonces, la aplicación del grupo de puntos en al jacobiano de , definido por , es un homomorfismo de grupos. Esto se puede demostrar considerando tres puntos en cuya suma sea , es decir, se toma con o . Ahora se aplica la ley de adición al jacobiano de la ley del grupo geométrico en curvas elípticas. Sumar y geométricamente significa trazar una línea recta que pase por y , intersecando la curva en otro punto. Se define como el opuesto de este punto. Por lo tanto, en el caso , estos tres puntos son colineales, lo que implica que existe un divisor lineal tal que , y satisfacen . Ahora bien, , que es el elemento identidad de , ya que es el divisor de la función racional , es un divisor principal. Se concluye que .

El teorema de Abel-Jacobi establece que un divisor es principal si y solo si tiene grado 0 y bajo la ley de adición usual para puntos en curvas cúbicas. Como dos divisores son equivalentes si y solo si es principal, se concluye que y son equivalentes si y solo si . Ahora bien, todo divisor no trivial de grado 0 es equivalente a un divisor de la forma , lo que implica que se ha encontrado una manera de asignar un punto de a cada clase . Es decir, a se le asigna el punto . Esta función se extiende al elemento neutro 0, que se asigna a . Por lo tanto, la función definida por es la inversa de . Así pues, es, de hecho, un isomorfismo de grupos, lo que demuestra que y son isomorfos.

Jacobiano de una curva hiperelíptica

El caso hiperelíptico general es un poco más complicado. Considérese una curva hiperelíptica de género sobre un cuerpo . Un divisor de se llama reducido si tiene la forma donde , para todo y para . Nótese que un divisor reducido siempre tiene grado 0, también es posible que si , pero solo si no es un punto de Weierstrass. Se puede demostrar que para cada divisor hay un único divisor reducido tal que es equivalente a . Por lo tanto, cada clase del grupo cociente tiene precisamente un divisor reducido. En lugar de considerar , se puede considerar el conjunto de todos los divisores reducidos.

Divisores reducidos y su representación de Mumford