En matemáticas, se define variedad jacobiana J(C) de una curva algebraica C no singular de genus g, como el espacio de módulos de un fibrado de rectas de grado 0. Es el componente conexo de la identidad en el grupo de Picard de C, y por lo tanto, una variedad abeliana.
Introducción La variedad jacobiana recibe su nombre de Carl Gustav Jakob Jacobi, quien demostró la versión completa del teorema de Abel-Jacobi, convirtiendo la afirmación de inyectividad de Niels Henrik Abel en un isomorfismo. Es una variedad abeliana polarizada principalmente, de dimensión g, y por lo tanto, sobre los números complejos, es un toro complejo. Si p es un punto de C, entonces la curva C puede aplicarse sobre una subvariedad de J, donde el punto p corresponde a la identidad de J, y C genera J como un grupo.
Construcción para curvas complejas Sobre los números complejos, la variedad jacobiana se puede realizar como el espacio cociente V/L, donde V es el dual del espacio vectorial de todos los diferenciales holomorfos globales en C; y L es el retículo de todos los elementos de V de la forma:
donde γ es un recorrido cerrado en C. En otras palabras,
con incrustado en mediante la aplicación anterior. Esto se puede hacer explícitamente usando la función theta.
El jacobiano de una curva sobre un cuerpo arbitrario fue construido por como parte de su demostración de la Hipótesis de Riemann para curvas sobre un cuerpo finito.
El teorema de Abel-Jacobi establece que el toro así construido es una variedad, el jacobiano clásico de una curva, que parametriza los fibrados de líneas de grado 0; es decir, se puede identificar con su variedad de Picard de divisores de grado 0 módulo equivalencia lineal.
Estructura algebraica Como grupo, la variedad jacobiana de una curva es isomorfa al cociente del grupo de divisores de grado cero por el subgrupo de divisores principales, es decir, divisores de funciones racionales. Esto se cumple para cuerpos que no son algebraicamente cerrados, siempre que se consideren divisores y funciones definidas sobre dicho cuerpo.
Nociones adicionales El teorema de Torelli establece que una curva compleja está determinada por su jacobiana (con su polarización). El problema de Schottky pregunta qué variedades abelianas polarizadas principalmente son las jacobianas de las curvas. La variedad de Picard, la variedad de Albanese, el jacobiano generalizado y el jacobiano intermedio son generalizaciones del jacobiano para variedades de dimensiones superiores, en las que la construcción de la variedad jacobiana como cociente del espacio de 1-formas holomorfas se generaliza para dar la variedad de Albanese, pero que en general no tiene por qué ser isomorfa a la variedad de Picard.
Véase también Matrices de periodos (en inglés) – Las matrices de periodos son una técnica útil para calcular el jacobiano de una curva. Estructura de Hodge (en inglés) – Son generalizaciones de los jacobianos. Teorema de Honda-Tate (en inglés) – Clasifica las variedades abelianas sobre cuerpos finitos salvo isogenia. Jacobiano intermedio (en inglés)
Referencias
Bibliografía Técnicas de cálculo
– Técnicas para construir jacobianos.
Clases de isogenia
Variedades abelianas isógenas a ningún jacobiano
Criptografía Curves, Jacobians, and Cryptography
General
Shokurov, V.V. (2001) , Jacobi variety, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Categoría:Curvas algebraicas