En matemáticas, la gonalidad de una curva algebraica C se define como el grado más bajo de una aplicación racional no constante desde C hacia la recta proyectiva. En términos más algebraicos, si C se define sobre el cuerpo K y K(C) denota el cuerpo de funciones de C, entonces la gonalidad es el valor mínimo que toman los grados de las extensiones de cuerpos
K(C)/K(f)
del cuerpo de funciones sobre sus subcuerpos generados por funciones simples f.
Si K es algebraicamente cerrado, entonces la gonalidad es 1 precisamente para curvas de genus 0. La gonalidad es 2 para curvas de género 1 (curvas elípticas) y para curvas hiperelípticas (esto incluye todas las curvas de género 2). Para género g ≥ 3, el género ya no determina la gonalidad. La gonalidad de una curva de género g es menor o igual que la función suelo de
(g + 3)/2.
Las curvas trigonales son aquellas con gonalidad 3, y este caso dio origen al nombre en general. Las curvas trigonales incluyen las curvas de Picard de género tres, dadas por la ecuación:
y3 = Q(x)
donde Q es de grado 4.
La conjetura de gonalidad, de M. Green y R. Lazarsfeld, predice que la gonalidad de la curva algebraica C puede calcularse mediante álgebra homológica a partir de una resolución mínima de un haz invertible de alto grado. En muchos casos, la gonalidad es dos unidades mayor que el índice de Clifford. La conjetura de Green-Lazarsfeld es una fórmula exacta en términos de los números de Betti graduados para una incrustación de grado d en r dimensiones, para d grande con respecto al género. Si se escribe b(C) con respecto a una incrustación dada de C y la resolución libre mínima para su anillo de coordenadas homogéneas, para el índice mínimo i para el cual βi, i + 1 es cero, entonces la fórmula conjeturada para la gonalidad es:
r + 1 − b(C).
Según la exposición de Federico Amodeo en el ICM de 1900, la noción (pero no la terminología) se originó en la Sección V de la Teoría de las Funciones Abelianas de Bernhard Riemann. Amodeo utilizó el término gonalidad ya en 1893.
Referencias
Bibliografía
Enlaces externos Introducción geométrica a las curvas trigonales de género cinco Código para construir ejemplos de curvas trigonales especiales en GitHub, escrito en Macaulay2
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