En geometría algebraica, el cuerpo de funciones de una variedad algebraica V consta de objetos que se interpretan como funciones racionales sobre V. En geometría algebraica clásica, son cocientes de polinomios; en geometría compleja, son funciones meromorfas y sus análogos de dimensiones superiores; en geometría algebraica moderna, son elementos de algunos anillos cocientes del cuerpo de fracciones.

Definición para variedades complejas En geometría compleja, los objetos de estudio son variedades analíticas complejas, sobre las que tiene una noción local del análisis complejo, mediante la que se pueden definir funciones meromorfas. El cuerpo de funciones de una variedad es entonces el conjunto de todas las funciones meromorfas sobre dicha variedad. Como todas las funciones meromorfas, estas toman sus valores en . Junto con las operaciones de suma y multiplicación de funciones, esto constituye un cuerpo en el sentido algebraico.

Para la esfera de Riemann, que es la variedad sobre los números complejos, las funciones meromorfas globales son precisamente las funciones racionales (es decir, las razones de funciones polinómicas complejas).

Construcción en geometría algebraica

En la geometría algebraica clásica, se generaliza el segundo punto de vista. Para la esfera de Riemann, mencionada anteriormente, la noción de polinomio no se define globalmente, sino simplemente con respecto a una carta de coordenadas afín, concretamente la que consiste en el plano complejo (todos los puntos de la esfera excepto el polo norte). En una variedad general V, se dice que una función racional en un subconjunto afín abierto U se define como la razón de dos polinomios en el anillo de coordenadas afines de U, y que una función racional en todo V consiste en datos locales que coinciden en las intersecciones de afines abiertos. Se puede definir el cuerpo de funciones de V como el cuerpo de fracciones del anillo de coordenadas afines de cualquier subconjunto afín abierto, ya que todos estos subconjuntos son densos.

Generalización a un esquema arbitrario

En el contexto más general, el de la teoría de esquemas moderna, se toma como punto de partida la perspectiva anterior. Es decir, si es un esquema integral, entonces para cada subconjunto afín abierto de , el anillo de secciones sobre es un dominio de integridad y, por lo tanto, posee un cuerpo de fracciones. Además, se puede verificar que todos estos elementos son iguales y que todos son iguales a los tallo de los puntos genéricos de . Así, el cuerpo de funciones de es simplemente el tallo de su punto genérico.Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157, section II.3 (First Properties of Schemes exercise 3.6)

Geometría del cuerpo de funciones

Si V es una variedad definida sobre un cuerpo K, entonces el cuerpo de funciones K(V) es una extensión finitamente generada del cuerpo base K. Su extensión transcendente es igual a la dimensión de la variedad. Todas las extensiones de K que se generan finitamente como cuerpos sobre K surgen de esta manera a partir de alguna variedad algebraica. Estas extensiones de cuerpos también se conocen como un cuerpo de funciones algebraicas sobre K.

Las propiedades de la variedad V que dependen únicamente del cuerpo de funciones se estudian en la geometrái birracional.

Ejemplos

El cuerpo de funciones de un punto sobre K es K.

El cuerpo de funciones de la recta afín sobre K es isomorfo al cuerpo K(t) de funciones racionales de una variable. Este es también el cuerpo de funciones de la recta proyectiva.

Considérese la curva plana algebraica afín definida por la ecuación . Su cuerpo de funciones es el cuerpo K(x,y), generado por los elementos x e y que son transcendentes sobre K y satisfacen la relación algebraica

Véase también Cuerpo de funciones algebraicas (en inglés) Divisor de Cartier (en inglés)

Referencias

Bibliografía

Categoría:Variedades algebraicas Categoría:Teoría de cuerpos