En geometría algebraica, una curva hiperelíptica es una curva algebraica de genus g > 1, dada por una ecuación de la forma:

donde f(x) es un polinomio de grado n = 2g + 1 > 4 o n = 2g + 2 > 4 con n raíces distintas, y h(x) es un polinomio de grado < g + 2 (si la característica del cuerpo de base no es 2, se puede tomar .

Una función hiperelíptica es un elemento del cuerpo de funciones de dicha curva, o de una variedad jacobiana sobre la curva. Estos dos conceptos son idénticos para las funciones elípticas, pero diferentes para las funciones hiperelípticas.

Género El grado del polinomio determina el género de la curva: un polinomio de grado 2g + 1 o 2g + 2 da como resultado una curva de género g. Cuando el grado es igual a 2g + 1, la curva se denomina curva hiperelíptica imaginaria. Por otro lado, una curva de grado 2g + 2 se denomina curva hiperelíptica real. Esta afirmación sobre el género se mantiene para g = 0 o 1, pero estos casos especiales no se denominan hiperelípticos. En el caso de g = 1 (si se elige un punto distinguido), dicha curva se denomina curva elíptica.

Formulación y elección del modelo

Si bien este modelo es la forma más sencilla de describir curvas hiperelípticas, dicha ecuación presenta un punto singular en el infinito en el plano proyectivo. Esta característica es específica del caso n > 3. Por lo tanto, al proporcionar dicha ecuación para especificar una curva no singular, casi siempre se asume que se refiere a un modelo no singular (también llamado finalización suave), equivalente en el sentido de la geometría birracional.

Para ser más precisos, la ecuación define una extensión de cuerpos de 'C(x), y es a ese campo de funciones al que se hace referencia. El punto singular en el infinito puede eliminarse (dado que se trata de una curva) mediante el proceso de normalización (clausura integral). Resulta que, tras realizar esto, existe un recubrimiento abierto de la curva mediante dos mapeos afines: el ya dado por

y otro dado por

La unión entre ambos mapas viene dada por

y por

dondequiera que se definan.

De hecho, se asume una notación geométrica abreviada, donde la curva C se define como un doble recubrimiento ramificado de la recta proyectiva, con ramificación apareciendo en las raíces de f, y también para n impar en el punto del infinito. De esta forma, los casos n = 2g + 1 y 2g + 2 pueden unificarse, ya que se puede usar un automorfismo del plano proyectivo para alejar cualquier punto de ramificación del infinito.

Utilizando la fórmula de Riemann-Hurwitz

Utilizando la fórmula de Riemann-Hurwitz, la curva hiperelíptica de género g se define mediante una ecuación de grado n = 2g + 2. Supóngase que f: X → P1 es un recubrimiento ramificado de grado 2, donde X es una curva de género g y P1 es la esfera de Riemann. Sea g1 = g y g0 el género de P1 ( = 0). Entonces, la fórmula de Riemann-Hurwitz resulta ser:

donde s se define sobre todos los puntos ramificados de X. El número de puntos ramificados es n, y en cada punto ramificado s se tiene que es = 2, por lo que la fórmula se convierte en:

de modo que n = 2g + 2.

Ocurrencia y aplicaciones

Todas las curvas de género 2 son hiperelípticas, pero para género = 3 la curva genérica no lo es. Esto se observa heurísticamente mediante una comprobación de la dimensión del espacio de módulos. Contando constantes, con n = 2g + 2, el conjunto de n puntos sujetos a la acción de los automorfismos de la recta proyectiva tiene (2g + 2) = 3 grados de libertad, que es menor que 3g - 3, el número de módulos de una curva de género g, a menos que g sea 2. Se sabe mucho más sobre el lugar hiperelíptico en el espacio de módulos de curvas o variedades abelianas, aunque es más difícil mostrar curvas no hiperelípticas generales con modelos simples. Una caracterización geométrica de las curvas hiperelípticas se realiza mediante el punto de Weierstrass. La geometría más detallada de las curvas no hiperelípticas se deduce de la teoría de curvas canónicas, siendo la aplicación canónica de 2 a 1 en curvas hiperelípticas, pero de 1 a 1 en otros casos para g > 2. Las curvas trigonales corresponden a tomar la raíz cúbica, en lugar de la raíz cuadrada, de un polinomio.

La definición mediante extensiones cuadráticas del cuerpo de funciones racionales funciona para cuerpos en general, excepto en característica 2. En todos los casos, la definición geométrica como recubrimiento doble ramificado de la línea proyectiva está disponible si se supone que la extensión es separable.

Las curvas hiperelípticas pueden utilizarse en criptografía de curva hiperelíptica para criptosistemas basados en logaritmos discretos. También aparecen agregando componentes conexas completas de ciertos estratos del espacio de módulos de diferenciales abelianas.

La hiperelipticidad de las curvas de género 2 se utilizó para demostrar la conjetura del área de llenado de Gromov en el caso de rellenos de género = 1.

Clasificación Las curvas hiperelípticas de género dado g poseen un espacio de módulos estrechamente relacionado con el anillo de invariantes de una forma binaria de grado 2g+2.

Historia Las funciones hiperelípticas fueron publicadas por primera vez por Adolph Göpel (1812-1847) en su último artículo Abelsche Transcendenten erster Ordnung (Trascendentes abelianos de primer orden), en el Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 35, 1847. Independientemente Johann G. Rosenhain trabajó en ese asunto y publicó Umkehrungen ultraelliptischer Integrale erster Gattung (en Mémoires des savants etc., vol. 11, 1851).

Véase también Superficie de Bolza Curva superelíptica

Referencias

Bibliografía

Guía del usuario para la aritmética local de curvas hiperelípticas (en inglés)

Categoría:Curvas algebraicas