En matemáticas, una matriz de permutación generalizada (o matriz monomial) es una matriz con el mismo patrón de elementos no nulos que una matriz permutación, es decir, hay exactamente un elemento no nulo en cada fila y en cada columna. A diferencia de una matriz de permutación, donde el elemento no nulo debe ser 1, en una matriz de permutación generalizada el elemento no nulo puede ser cualquier valor distinto de cero. Un ejemplo de matriz de permutación generalizada es:
Estructura Una matriz invertible A es una matriz de permutación generalizada si y solo si se puede escribir como el producto de una matriz diagonal D invertible y de una matriz invertible P (implícitamente, una matriz permutación): es decir,
Estructura de grupo El conjunto de matrices de permutación generalizadas n × n con entradas en un cuerpo F forma un subgrupo del grupo lineal general GL(n, F), en el que el grupo de matrices diagonales no singulares Δ(n, F) forma un subgrupo normal. De hecho, sobre todos los cuerpos excepto GF(2), las matrices de permutación generalizadas son el normalizador de las matrices diagonales, lo que significa que las matrices de permutación generalizadas son el subgrupo más grande de GL(n, F) en el que las matrices diagonales son normales.
El grupo abstracto de matrices de permutación generalizadas es el producto de corona de F× y Sn. Concretamente, esto significa que es el producto semidirecto de Δ(n, F) por el grupo simétrico Sn:
Sn ⋉ Δ(n, F),
donde Sn actúa permutando coordenadas y las matrices diagonales Δ(n, F) son isomorfas al producto n-múltiple (F×)n.
Para ser precisos, las matrices de permutación generalizadas son una represntación (fiel) de este producto abstracto en forma de corona: una realización del grupo abstracto como un subgrupo de matrices.
Subgrupos El subgrupo donde todas las entradas son 1 es exactamente el de las matrices de permutación, que es isomorfo al grupo simétrico. El subgrupo donde todas las entradas son ±1 es el de las matrices de permutación con signo, que es un grupo hiperoctaédrico. El subgrupo donde las entradas son las m raíces de la unidad es isomorfo al grupo simétrico generalizado. El subgrupo de matrices diagonales es abeliano, normal y un subgrupo abeliano maximal. El grupo cociente es el grupo simétrico, y esta construcción es, de hecho, el grupo de Weyl del grupo lineal general: las matrices diagonales son un toro maximal en el grupo lineal general (y son su propio grupo lineal general centralizador), las matrices de permutación generalizadas son el normalizador de este toro, y el cociente, , es el grupo de Weyl.
Propiedades Si una matriz no singular y su inversa son ambas matrices no negativas (es decir, matrices con entradas no negativas), entonces la matriz es una matriz de permutación generalizada. El determinante de una matriz de permutación generalizada viene dado por :, donde es el signo de la permutación asociada a y son los elementos diagonales de .
Generalizaciones Se puede generalizar aún más permitiendo que las entradas pertenezcan a un anillo, en lugar de a un cuerpo. En ese caso, si se requiere que las entradas no nulas sean unidades en el anillo, se obtiene de nuevo un grupo. Por otro lado, si solo se requiere que las entradas no nulas sean no nulas, pero no necesariamente invertibles, este conjunto de matrices forma un semigrupo.
También se puede permitir esquemáticamente que las entradas no nulas pertenezcan a un grupo G, entendiendo que la multiplicación de matrices solo implicará la multiplicación de un único par de elementos del grupo, no la suma de dichos elementos. Esto corresponde a una notación inadecuada, ya que los elementos de las matrices que se multiplican deben permitir tanto la multiplicación como la suma, pero es una noción sugerente del grupo abstracto (formalmente correcto) (el producto de coronas del grupo G por el grupo simétrico).
Grupo de permutación con signo Una matriz de permutación con signo es una matriz de permutación generalizada cuyas entradas no nulas son ±1 y son las matrices de permutación generalizadas con inverso entero.
Propiedades Es el grupo de Coxeter y tiene orden . Es el grupo de simetría de un hipercubo y (dualmente) de su politopo de cruce. Su subgrupo índice de matrices con determinante igual a su permutación subyacente (sin signo) es el grupo de Coxeter y es el grupo de simetría del demihipercubo. Es un subgrupo del grupo ortogonal.
Aplicaciones
Representaciones monomiales Las matrices monomiales aparecen en teoría de representación en el contexto de la representación monomial. Una representación monomial de un grupo G es una representación lineal de G (donde F es el cuerpo definitorio de la representación) tal que la imagen ρ(G) es un subgrupo del grupo de matrices monomiales.
Referencias
Bibliografía
Categoría:Matrices Categoría:Permutaciones