En matemáticas, un retículo entero -dimensional, denotado como , es una red de puntos definida en un espacio euclídeo , cuyos puntos tienen por coordenadas -tuplas de números enteros. La red entera bidimensional también se denomina retículo cuadrado (o red reticular) y la red entera tridimensional se denomina red cúbica. es el ejemplo más simple de un retículo raíz. La red entera es un retículo unimodular impar.

Grupo de automorfismos El grupo de automorfismos (o grupo de congruencia) de la red entera consta de todas las permutaciones y cambios de signo de las coordenadas, y es de orden 2n n!. Como grupo lineal, se define por el conjunto de todas las matrices de permutación con signo de n × n elementos. Este grupo es isomorfo al producto semidirecto:

donde el grupo simétrico Sn actúa sobre (Z'2)n mediante permutación (este es un ejemplo clásico de producto de corona).

Para la red cuadrada, este es el grupo de los cuadrados, o el grupo diédrico de orden 8; para la red cúbica tridimensional, se obtiene el grupo de los cubos, o la simetría octaédrica, de orden 48.

Geometría diofántica En el estudio de la geometría diofántica, la red cuadrada de puntos con coordenadas enteras se denomina a menudo plano diofántico. En términos matemáticos, el plano diofántico es el producto cartesiano del anillo de todos los enteros . El estudio de figuras diofánticas se centra en la selección de nodos en el plano diofántico de tal manera que todas las distancias entre pares de puntos sean enteros.

Geometría gruesa En geometría gruesa, la red entera es aproximadamente equivalente al espacio euclídeo.

Teorema de Pick

El teorema de Pick, descrito por primera vez por Georg Alexander Pick en 1899, proporciona una fórmula para obtener el área de un polígono simple con todos sus vértices sobre un retículo entero bidimensional, en función del número de puntos enteros de la red dentro del polígono y en su frontera. CiteBank:47270

Sea el número de puntos enteros dentro del polígono y el número de puntos enteros en su frontera (incluyendo vértices y puntos en los lados). Entonces, el área de este polígono es:

El ejemplo mostrado tiene puntos interiores y puntos de frontera, por lo que su área es unidades cuadradas.

Véase también Retículo regular

Referencias

Lecturas adicionales

Categoría:Geometría euclidiana Categoría:Puntos de retícula Categoría:Geometría diofántica