La optimización cónica es un subcampo de la optimización convexa, que estudia problemas que consisten en minimizar una función convexa sobre la intersección de un subespacio afín y un cono convexo.
La clase de problemas que abarca la optimización cónica incluye algunas de las clases más conocidas de problemas de optimización convexa, a saber, la programación lineal y la programación semidefinida.
Definición Consideremos una función convexa de valores reales , donde es un cono convexo de un espacio vectorial real . Sea un subespacio afín, definido por un conjunto de restricciones afines . Un problema de optimización cónica consiste en encontrar un punto en para el cual el número es el más pequeño. Esto es: minimizar sujeto a
Ejemplos de cono convexo incluyen: el ortante positivo ; el conjunto de matrices semidefinidas positivas ; y el cono de segundo orden . En el caso particular en que es una función lineal, el problema de optimización cónica se reduce para cada uno de estos conos a: un programa lineal, un programa semidefinido y un programa de cono de segundo orden, respectivamente.
Dualidad Ciertos casos especiales de problemas de optimización cónica tienen expresiones analíticas para sus problemas duales.
Programación Lineal Cónica Consideremos el problema de programación lineal cónica, que consiste en: minimizar sujeto a
Su problema dual es: maximizar sujeto a dónde denota el cono dual de .
Si bien la dualidad débil se cumple en la programación lineal cónica, la dualidad fuerte no necesariamente se cumple.
Programación semidefinida Consideremos un problema de programación semidefinida en forma de desigualdad: minimizar sujeto a
Su problema dual está dado por: maximizar sujeto a
Referencias
Enlaces externos
Splitting Conic Solver (SCS) Paquete para resolver problemas de optimización cónica de gran tamaño. MOSEK Software capaz de resolver problemas de optimización cónica.
Categoría:Optimización convexa