La ecuación de Chebyshov es un tipo de ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, que tiene la expresión:
donde p es una constante real (o compleja). La ecuación recibe su nombre del matemático ruso Pafnuti Chebyshov. Las soluciones se obtienen mediante el siguiente desarrollo en serie de potencias:
donde los coeficientes cumplen la relación de recurrencia
La serie converge para (nótese que puede ser complejo), como se observa al aplicar el criterio del cociente a la relación de recurrencia, que puede iniciarse con valores arbitrarios de y , lo que da lugar al espacio bidimensional de soluciones que surge de las ecuaciones diferenciales de segundo orden. Las opciones estándar son:
; , lo que lleva a la solución:
y
; , lo que lleva a la solución:
La solución general es cualquier combinación lineal de estas dos.
Cuando p es un entero no negativo, una de las dos funciones termina su serie después de un número finito de términos: F termina si p es par, y G termina si p es impar. En este caso, dicha función es un polinomio de grado p y es proporcional al polinomio de Chevyshov de primera especie:
si p es par
si p es impar
Referencias
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Categoría:Ecuaciones diferenciales ordinarias