El frente de Pareto (también llamado frontera de Pareto o curva de Pareto), en la optimización multiobjetivo, es el conjunto de todas las soluciones eficientes de Pareto. Coloquialmente, esto significa que cuando hay muchos objetivos distintos a considerar en un problema de optimización, un frente de Pareto representa el conjunto de soluciones donde ninguna solución supera a ninguna otra solución del conjunto para cada objetivo, y cada solución que no está en el conjunto es superada por al menos una solución en el frente de Pareto para cada objetivo. El concepto se utiliza ampliamente en ingeniería.Permite al diseñador restringir la atención al conjunto de opciones eficientes y realizar concesiones dentro de este conjunto, en lugar de considerar todo el rango de cada parámetro. miniaturadeimagen|300x300px|Ejemplo de un frente de Pareto (línea roja). Los cuadrados representan opciones factibles. Si se prefieren los valores menores a los mayores, el punto C no se encuentra en la frontera de Pareto porque está dominado tanto por el punto A como por el punto B. Los puntos A y B no están estrictamente dominados por ningún otro, por lo que se encuentran en el frente. miniaturadeimagen|256x256px|Frontera de posibilidades de producción. La línea roja representa un ejemplo de un frente de Pareto eficiente. Esta frontera y el área a su izquierda y debajo de ella constituyen el conjunto continuo de opciones posibles. Los puntos rojos sobre la frontera son ejemplos de producción óptima de Pareto. Los puntos fuera de la frontera, como K y N, no son eficientes con respecto a la frontera, ya que existen puntos que los dominan en el sentido del frente de Pareto.

Definición El frente de Pareto, P (Y), puede describirse formalmente de la siguiente manera. Consideremos un sistema con función donde X es un conjunto compacto de decisiones factibles en el espacio métrico , e Y es el conjunto factible de vectores de criterio en , de tal manera que .

Suponiendo que se conocen las direcciones preferidas de los valores de los criterios, un punto se prefiere (domina estrictamente) a otro punto , escrito como . La frontera de Pareto se escribe, por lo tanto, como:

Relación marginal de sustitución Un aspecto significativo del frente de Pareto en economía es que, en una asignación eficiente de Pareto, la relación marginal de sustitución es la misma para todos los consumidores. Se puede derivar una formulación considerando un sistema con m consumidores y n bienes, y una función de utilidad de cada consumidor como , donde es el vector de bienes, para todo i. La restricción de que sea factible es para . Para encontrar la asignación óptima de Pareto, maximizamos el lagrangiano :

donde y son los vectores de multiplicadores. Tomando la derivada parcial del lagrangiano con respecto a cada bien para y se obtiene el siguiente sistema de condiciones de primer orden:

donde denota la derivada parcial de con respecto a . Ahora, fijando cualquier y , la condición de primer orden anterior implica que:

Por lo tanto, en una asignación óptima de Pareto, la relación marginal de sustitución debe ser la misma para todos los consumidores.

Cálculo computacional En ciencias de la computación e ingeniería eléctrica se han propuesto diversos algoritmos para calcular el frente de Pareto de un conjunto finito de alternativas:

"Los máximos de un conjunto de puntos " "El problema del vector máximo" o la consulta skyline "El algoritmo de escalarización" o el método de sumas ponderadas "El método de -restricciones" Algoritmos evolutivos multiobjetivo

Aproximaciones Dado que generar el frente de Pareto completo suele ser computacionalmente costoso, existen algoritmos para calcular un frente de Pareto aproximado. Por ejemplo, Legriel et al.denominan a un conjunto S una ε-aproximación del frente de Pareto, P, si la distancia de Hausdorff dirigida entre S y P es como máximo ε. Estos observan que se puede encontrar una ε-aproximación de cualquier frente de Pareto P en d-dimensiones utilizando (1/ε) d consultas.

Zitzler, Knowles y Thiele comparan varios algoritmos para aproximaciones de conjuntos de Pareto bajo diversos criterios, como la invariancia a la escala, la monotonicidad y la complejidad computacional.

Referencias

Categoría:Optimización