thumb|300px|Triángulo de Brahmagupta, en el que e son enteros que satisfacen la ecuación
Un triángulo de Brahmagupta es aquel cuyos lados tienen longitudes enteras consecutivas y su área también es un número entero positivo. Por ejemplo, el triángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 es un triángulo de Brahmagupta, al igual que el triángulo cuyos lados miden 13, 14 y 15. El triángulo de Brahmagupta es un caso especial del triángulo heroniano, que se caracteriza porque sus lados y área son todos números enteros positivos, aunque las longitudes de los lados no necesariamente tienen que ser consecutivas. Un triángulo de Brahmagupta recibe este nombre en honor al astrónomo y matemático indio Brahmagupta (c. 598 - c. 668 d. C.), quien proporcionó una lista de los primeros ocho triángulos de este tipo sin explicar el método que utilizó para calcularla.
Un triángulo de Brahmagupta también se denomina triángulo de Fleenor-Heroniano en honor a Charles R. Fleenor, quien analizó el concepto en un artículo publicado en 1996. Otros nombres con los que se conocen los triángulos de Brahmagupta son triángulo superheroniano y triángulo heroniano casi equilátero.
El problema de encontrar todos los triángulos de Brahmagupta es un problema antiguo. Reinhold Hoppe encontró una solución analítica en 1880.
Generación de triángulos de Brahmagupta Sean las longitudes de los lados de un triángulo de Brahmagupta , y , donde es un número entero mayor que 1. Usando la fórmula de Herón, se puede demostrar que el área del triángulo es:
Dado que debe ser un número entero, debe ser par, por lo que se puede tomar como , donde es un número entero. Por lo tanto,
Dado que debe ser un número entero, debe existir para algún entero . Por lo tanto, debe satisfacer la siguiente ecuación diofántica:
Este es un ejemplo de la denominada ecuación de Pell , con . Los métodos para resolver la ecuación de Pell se pueden aplicar para hallar los valores de los enteros e .
Obviamente, e son soluciones de la ecuación . Tomando como solución inicial e , el conjunto de todas las soluciones de la ecuación se puede generar mediante las siguientes relaciones de recurrencia:
o mediante las siguientes relaciones con soluciones iniciales adicionales e :
También se pueden generar utilizando la siguiente propiedad:
Los siguientes son los primeros ocho valores de e y los correspondientes triángulos de Brahmagupta: 1 2 3 4 5 6 7 8 2726973621351504218817 141556209780291110864Triángulo deBrahmagupta3,4,513,14,1551,52,53193,194,195723,724,7252701,2702,270310083,10084,1008537633,37634,37635
La sucesión es la entrada en la Enciclopedia en línea de secuencias enteras (OEIS) y la sucesión es la entrada .
Triángulos de Brahmagupta generalizados En un triángulo de Brahmagupta, las longitudes de los lados forman una progresión aritmética de números enteros con una diferencia común 1. Un triángulo de Brahmagupta generalizado es un triángulo heroniano en el que las longitudes de los lados forman una progresión aritmética de números enteros positivos. Los triángulos de Brahmagupta generalizados se pueden construir fácilmente a partir de los triángulos de Brahmagupta. Si son las longitudes de los lados de un triángulo de Brahmagupta, entonces, para cualquier número entero positivo , los números enteros son las longitudes de los lados de un triángulo de Brahmagupta generalizado que forma una progresión aritmética con diferencia común . Hay triángulos de Brahmagupta generalizados que no se generan de esta manera. Un triángulo de Brahmagupta generalizado primitivo es aquel en el que las longitudes de los lados no tienen otro factor común que 1.
Para encontrar las longitudes de los lados de tales triángulos, sean las longitudes de los lados donde son números enteros que satisfacen . Usando la fórmula de Heron, se puede demostrar que el área del triángulo es
.
Para que sea un número entero, debe ser par y se puede tomar como algún número entero. Esto hace que
.
Dado que, nuevamente, tiene que ser un número entero, tiene que tener la forma para algún número entero . Por lo tanto, para encontrar las longitudes de los lados de los triángulos de Brahmagupta generalizados, es necesario encontrar soluciones a la siguiente ecuación diofántica cuadrática homogénea:
Se puede demostrar que todas las soluciones primitivas de esta ecuación están dadas por
donde y son números enteros positivos primos entre sí y (el máximo común divisor ).
Si se toma , se obtiene el triángulo de Brahmagupta . Si se toma se obtiene el triángulo de Brahmagupta . Pero si se toma se obtiene el triángulo de Brahmagupta generalizado que no se puede reducir a un triángulo de Brahmagupta.
Véase también Polinomios de Brahmagupta Cuadrilátero cíclico
Referencias
Categoría:Problemas aritméticos de geometría plana Categoría:Tipos de triángulos Categoría:Matemática elemental Categoría:Teoría de números elemental Categoría:Brahmagupta