En matemáticas, un aproximante de Padé es la mejor aproximación de una función cerca de un punto específico mediante una función racional de orden dado. Con esta técnica, la serie de potencias del aproximador coincide con la serie de potencias de la función que aproxima. La técnica fue desarrollada alrededor de 1890 por Henri Padé, pero se remonta a Ferdinand Georg Frobenius, quien introdujo la idea e investigó las características de las aproximaciones racionales de series de potencias.

El aproximador de Padé suele proporcionar una mejor aproximación de la función que truncar su serie de Taylor, e incluso puede funcionar cuando la serie de Taylor no converge. Por estas razones, los aproximadores de Padé se utilizan ampliamente en cálculos computacionales. También se han utilizado como función auxiliar en aproximación diofántica y en teoría de números trascendentes, aunque para obtener resultados precisos, se suelen reemplazar por métodos ad hoc, en cierto modo inspirados en la teoría de Padé. Dado que una aproximación de Padé es una función racional, puede aparecer un punto singular artificial en la aproximación, pero esto se puede evitar mediante el análisis de Borel-Padé.

La razón por la que la aproximación de Padé tiende a ser una mejor aproximación que el truncado de la serie de Taylor queda clara desde el punto de vista del método de suma de múltiples puntos. Dado que existen muchos casos en los que la expansión asintótica en el infinito se anula o se convierte en una constante, se puede interpretar como la aproximación de Padé incompleta de dos puntos, en la que la propia aproximación de Padé ordinaria mejora el método de truncamiento de la serie de Taylor.

Definición Dada una función y dos números enteros, y , la aproximación de Padé de orden es la función racional:

que coincide con en el orden más alto posible, lo que equivale a:

De forma equivalente, si se desarrolla en una serie de Maclaurin (serie de Taylor en 0), sus primeros términos serían iguales a los primeros términos de , y por lo tanto:

Cuando existe, la aproximación de Padé es única como serie de potencias formal para los valores dados de m y n.

La aproximación de Padé definida anteriormente también se denota como:

Cálculo Para una dada, los aproximantes de Padé se pueden calcular mediante el algoritmo épsilon de Wynn (Teorema 1 en y también mediante otras transformación de secuencia a partir de las sumas parciales

de la serie de Taylor de , es decir, se tiene que:

también puede ser una serie formal de potencias y, por lo tanto, los aproximantes de Padé también se pueden aplicar a la suma de series divergentes.

Una forma de calcular un aproximante de Padé es mediante el algoritmo euclídeo extendido para el máximo común divisor polinómico. La relación

es equivalente a la existencia de algún factor tal que

puede interpretarse como la identidad de Bézout de un paso en el cálculo del máximo común divisor extendido de los polinomios y .

Debe recordarse que, para calcular el máximo común divisor de dos polinomios p y q, se calcula mediante división larga la secuencia de restos:

con , hasta . Para las identidades de Bézout del máximo común divisor extendido, se calculan simultáneamente las dos secuencias de polinomios:

para obtener en cada paso la identidad de Bézout:

Para la aproximación , se lleva a cabo el algoritmo euclidiano extendido para:

y se detiene en el último instante en el que tiene grado o menor.

Entonces, los polinomios dan el aproximante de Padé . Si se calcularan todos los pasos del cálculo del máximo común divisor extendido, se obtendría una antidiagonal de la tabla de Padé.

Función zeta de Riemann-Padé Para estudiar la resuma de una serie divergente, por ejemplo:

puede ser útil introducir la función zeta de Padé, o simplemente función zeta racional, como:

donde:: es la aproximación de Padé de orden de la función . El valor de regularización de la función zeta en se toma como la suma de la serie divergente.

La ecuación funcional para esta función zeta de Padé es:

donde y son los coeficientes del aproximante de Padé. El subíndice '0' indica que el aproximante de Padé es de orden [0/0] y, por lo tanto, se obtiene la función zeta de Riemann.

Método DLog Padé Los aproximantes de Padé se pueden usar para extraer puntos críticos y exponentes de funciones. En termodinámica, si una función se comporta de manera no analítica cerca de un punto como , se denomina a punto crítico y a el exponente crítico asociado de . Si se conocen suficientes términos del desarrollo en serie de , se pueden extraer aproximadamente los puntos críticos y los exponentes críticos a partir de los polos y residuos de los aproximantes de Padé , donde , respectivamente.

Generalizaciones Un aproximante de Padé aproxima una función de una variable. Una aproximación en dos variables se llama aproximación de Chisholm (según J. S. R. Chisholm), en múltiples variables una aproximación de Canterbury (según Graves-Morris, de la Universidad de Kent).

Aproximante de Padé de dos puntos El aproximante de Padé convencional se determina para reproducir el desarrollo de Maclaurin hasta un orden dado. Por lo tanto, la aproximación en valores distintos del punto de desarrollo puede ser deficiente. Esto se evita mediante el aproximante de Padé de 2 puntos, que es un tipo de método de suma multipunto. En , considérese un caso en el que una función que se expresa mediante el comportamiento asintótico :

y en , comportamiento asintótico adicional :

Al seleccionar el comportamiento principal de , se pueden encontrar funciones aproximadas que reproducen simultáneamente el comportamiento asintótico mediante el desarrollo de la aproximación de Padé en diversos casos. Como resultado, en el punto , donde la precisión de la aproximación puede ser la peor en la aproximación de Padé ordinaria, se garantiza una buena precisión del aproximante de Padé de 2 puntos. Por lo tanto, el aproximante de Padé de 2 puntos puede ser un método que proporciona una buena aproximación global para .

En los casos en que se expresa mediante polinomios o series de potencias negativas, funciones exponenciales, funciones logarítmicas o , se puede aplicar el aproximante de Padé de 2 puntos a . Existe un método para utilizar este método y obtener una solución aproximada de ecuaciones diferenciales con alta precisión. Además, para los ceros no triviales de la función zeta de Riemann, el primer cero no trivial puede estimarse con cierta precisión a partir del comportamiento asintótico en el eje real.

Aproximante de Padé multipunto Una extensión adicional del aproximante de Padé de dos puntos es el aproximante de Padé multipunto. Este método trata los puntos de singularidad de una función que se desea aproximar. Considérense los casos en que las singularidades de una función se expresan con el índice mediante:

Además del aproximante de Padé de dos puntos, que incluye información en , este método aproxima para reducir la divergencia en . Como resultado, al capturarse la información sobre la peculiaridad de la función, la aproximación de la función puede realizarse con mayor precisión.

Ejemplos

Jacobi : Bessel : Error : Fresnel :

Véase también Tabla de Padé Fórmula de aproximación del seno de Bhaskara I Teoría de la aproximación Aproximación de funciones

Referencias

Bibliografía Baker, G. A., Jr.; y Graves-Morris, P. Padé Approximants. Cambridge U.P., 1996. Baker, G. A., Jr. Aproximante de Padé, Scholarpedia, 7(6):9756. Brezinski, C.; Redivo Zaglia, M. Métodos de extrapolación. Teoría y práctica. Provincia de Holanda Septentrional, 1991. . . . .

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Enlaces externos

Aproximantes de Padé, Oleksandr Pavlyk, Wolfram Demonstrations Project. Análisis de datos: Aproximación de Padé, Rudolf K. Bock Organización Europea para la Investigación Nuclear, Organización Europea para la Investigación Nuclear. Onda sinusoidal, Scott Dattalo, último acceso: 11/11/2010. Función de MATLAB para la aproximación de Padé de modelos con retardos temporales.

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