En cálculo, la regla de integración de Leibniz para la derivación bajo el signo de la integral, que lleva el nombre de Gottfried Wilhelm Leibniz, establece que, para una integral de la forma
donde y los integrandos son funciones dependientes de la derivada de esta integral se puede expresar como
donde la derivada parcial indica que, dentro de la integral, solo se tiene en cuenta la variación de con respecto a al calcular la derivada.
En el caso especial en el que las funciones y son constantes y con valores que no dependen de esto se simplifica a:
Si es una constante y , lo cual es otra situación habitual (por ejemplo, en la demostración de la fórmula de Cauchy para la integración repetida), la regla de integración de Leibniz queda expresada como:
Este importante resultado puede, bajo ciertas condiciones, utilizarse para intercambiar los operadores de integral y de derivada parcial, y resulta particularmente útil en la derivación de transformadas integrales. Un ejemplo de ello es la función generadora de momentos en teoría de la probabilidad, una variante de la transformada de Laplace, que puede derivarse para generar los momentos de una variable aleatoria. Que se aplique o no la regla de integración de Leibniz es, en esencia, una cuestión sobre la permutación de límites.
Forma general: derivación bajo el signo integral
El enunciado del teorema matemático es el siguiente: Sea una función tal que tanto como su derivada parcial sean continuas en y en alguna región del , incluyendo Supongamos también que las funciones y son ambas continuas y ambas tienen derivadas continuas para Entonces, para
El lado derecho también puede escribirse utilizando la notación de Lagrange como:
Las versiones más generales del teorema solo exigen que la derivada parcial exista en todas partes, y no que sea continua. Esta fórmula es la forma general de la regla integral de Leibniz y puede deducirse utilizando el teorema fundamental del cálculo. El (primer) teorema fundamental del cálculo es simplemente el caso particular de la fórmula anterior en el que es constante, y no depende de
Si se toman como constantes tanto el límite superior como el inferior, la fórmula adopta la forma de una ecuación de operador:
donde es la derivada parcial con respecto a y es el operador integral con respecto a sobre un intervalo fijo. Es decir, está relacionada con la simetría de las derivadas segundas, pero implica integrales además de derivadas. Este caso también se conoce como la regla de integración de Leibniz.
Los tres teoremas básicos siguientes sobre la intercambiabilidad de los límites son esencialmente equivalentes: el intercambio de una derivada y una integral (derivación bajo el signo integral; es decir, la regla integral de Leibniz); el cambio de orden de las derivadas parciales; el cambio de orden de la integración (integración bajo el signo integral; es decir, el teorema de Fubini). Caso tridimensional dependiente del tiempo
derecha|miniatura|250px|Figura 1: Un campo vectorial F(r, t) definido en todo el espacio, y una superficie Σ delimitada por la curva ∂Σ que se mueve con velocidad v sobre la cual se integra el campo. Una regla de integración de Leibniz para una superficie bidimensional que se mueve en el espacio tridimensional es
donde: es un campo vectorial en la posición espacial en el instante , es la derivada temporal parcial del campo vectorial, es una superficie delimitada por la curva cerrada , es un elemento vectorial de la superficie , es un elemento vectorial de la curva , es la velocidad de movimiento de la región , es la divergencia vectorial, es el producto vectorial, Las integrales dobles son integrales de superficie sobre la superficie , y la integral de línea es sobre la curva delimitadora .
Dimensiones superiores
La regla de integración de Leibniz puede extenderse a integrales multidimensionales. En dos y tres dimensiones, esta regla es más conocida en el campo de la dinámica de fluidos como el teorema del transporte de Reynolds:
donde es una función escalar, y denotan una región conectada que varía en el tiempo de R3 y su frontera, respectivamente, es la velocidad euleriana del contorno (véase Especificación lagrangiana y euleriana del campo de flujo) y es la componente normal unitaria del elemento de superficie.
La formulación general de la regla de integración de Leibniz requiere conceptos de geometría diferencial, concretamente formas diferenciales, derivadas exteriores, productos exteriores y productos interiores. Con esas herramientas, la regla de integración de Leibniz en n dimensiones es
donde es un dominio de integración que varía en el tiempo, ω es una forma p, es el campo vectorial de la velocidad, denota el producto interior con , dxω es la derivada exterior de ω con respecto únicamente a las variables espaciales y es la derivada temporal de ω.
La fórmula anterior se puede deducir directamente del hecho de que la derivada de Lie interactúa bien con la integración de formas diferenciales
para la variedad espaciotemporal , donde la derivada exterior en el espacio-tiempo de es y la superficie tiene un campo de velocidad espaciotemporal . Dado que solo tiene componentes espaciales, la derivada de Lie se puede simplificar utilizando fórmula mágica de Cartan, para obtener la
lo cual, tras integrar sobre y aplicar el teorema de Stokes generalizado al segundo término, se reduce a los tres términos deseados.
Enunciado de teoría de la medida Sea un subconjunto abierto de , y un espacio de medida. Supongamos que satisface las siguientes condiciones:
es una función integrable según Lebesgue de para cada . Para casi todos los , la derivada parcial existe para todo . Existe una función integrable tal que para todo y casi todo .
Entonces, para todo ,
La demostración se basa en el teorema de convergencia dominada y el teorema del valor medio (detalles a continuación).
Demostraciones Demostración de la forma básica En primer lugar, demostramos el caso en el que los límites de integración a y b son constantes.
Utilizamos el teorema de Fubini para cambiar el orden de integración. Para todo y , tal que y tanto como están dentro de x0,x1, tenemos:
Obsérvese que las integrales en cuestión están bien definidas, ya que es continua en el rectángulo cerrado y, por lo tanto, también es uniformemente continua allí; así, sus integrales con respecto a «dt» o «dx» son continuas en la otra variable y también integrables por ella (esencialmente, esto se debe a que, para funciones uniformemente continuas, se puede pasar el límite a través del signo de integración, como se explica a continuación).
Por lo tanto:
Donde hemos definido:
(podemos sustituir aquí x0 por cualquier otro punto entre x0 y x)
F es diferenciable con derivada , por lo que podemos tomar el límite cuando tiende a cero.
Para el lado izquierdo, este límite es:
Para el lado derecho, obtenemos:
Y así demostramos el resultado deseado:
Otra demostración utilizando el teorema de convergencia acotada Si las integrales en cuestión son integrales de Lebesgue, podemos utilizar el Teorema de la convergencia dominada (válido para estas integrales, pero no para las integrales de Riemann) con el fin de demostrar que el límite puede pasar por el signo de la integral.
Obsérvese que esta demostración es más débil en el sentido de que solo muestra que “'fx”'(“'x”',“'t”') es integrable según Lebesgue, pero no que sea integrable según Riemann. En la primera demostración (más fuerte), si “'f”'(“'x”',“'t”') es integrable según Riemann, entonces también lo es fx(x,t) (y, por lo tanto, obviamente también es integrable según Lebesgue).
Sea
Por la definición de la derivada,
Sustituye la ecuación () en la ecuación (). La diferencia de dos integrales es igual a la integral de la diferencia, y 1/h es una constante, por lo que
Ahora demostraremos que el límite puede pasar por el signo de la integral.
Afirmamos que el paso del límite bajo el signo de la integral es válido por el teorema de convergencia acotada (un corolario del teorema de la convergencia dominada). Para cada δ > 0, consideremos el cociente de diferencia
Para un t fijo, el teorema del valor medio implica que existe un z en el intervalo [x, x + δ] tal que
La continuidad de fx(x, t) y la compacidad del dominio implican conjuntamente que fx(x, t) es acotada. Por lo tanto, la aplicación anterior del teorema del valor medio proporciona un límite uniforme (independiente de ) para . Los cocientes de diferencia convergen puntualmente a la derivada parcial fx por la suposición de que la derivada parcial existe.
El argumento anterior muestra que, para toda secuencia {δn} → 0, la secuencia está uniformemente acotada y converge punto por punto a fx. El teorema de convergencia acotada establece que si una secuencia de funciones en un conjunto de medida finita es uniformemente acotada y converge punto por punto, entonces el paso del límite bajo el integral es válido. En particular, el límite y el integral pueden intercambiarse para toda secuencia {δ < sub > n < /sub >} → 0. Por lo tanto, el límite cuando δ → 0 puede pasar a través del signo integral.
Si, en cambio, solo sabemos que existe una función integrable tal que , entonces y el teorema de convergencia dominada nos permite trasladar el límite al interior de la integral.
Forma de límites variables Para una función continua de valor real g de una variable real, y funciones diferenciables de valor real y de una variable real,
Esto se deduce de la regla de la cadena y del Primer teorema fundamental del cálculo. Defina
y
(El límite inferior solo tiene que ser algún número en el dominio de )
Entonces, se puede escribir como una composición: . La regla de la cadena implica entonces que
Por el primer teorema fundamental del cálculo, . Por lo tanto, sustituyendo este resultado en la ecuación anterior, obtenemos la ecuación deseada:
Nota: Esta forma puede resultar especialmente útil si la expresión que se va a derivar tiene la forma:
Dado que no depende de los límites de integración, puede sacarse de debajo del signo de la integral, y la forma anterior puede utilizarse con la regla del producto, es decir,
Forma general con límites variables Sea
donde a y b son funciones de α que presentan incrementos Δa y Δb, respectivamente, cuando α se incrementa en Δα. Entonces,
Una forma del teorema del valor medio, , donde a < ξ < b, puede aplicarse a la primera y última integrales de la fórmula para Δφ anterior, lo que da como resultado
Dividimos por Δα y hacemos que Δα → 0. Observamos que ξ < sub > 1 < /sub > → a y ξ < sub > 2 < /sub > → b. Podemos pasar el límite a través del signo de la integral:
de nuevo por el teorema de convergencia acotada. Esto da como resultado la forma general de la regla integral de Leibniz,
Demostración alternativa de la forma general con límites variables, utilizando la regla de la cadena
La forma general de la regla de integración de Leibniz con límites variables puede derivarse como consecuencia de la forma básica de la regla de integración de Leibniz, la regla de la cadena multivariable y el primer teorema fundamental del cálculo. Supongamos que está definida en un rectángulo en el plano -, para todo ). Supongamos también que y la derivada parcial son ambas funciones continuas en este rectángulo. Supongamos que son funciones de valor real diferenciables definidas en , con valores en (es decir, para todo ). Ahora, sea
y
Entonces, por las propiedades de las integrales definidas, podemos escribir
Dado que las funciones son todas diferenciables (véase la observación al final de la demostración), por la regla de la cadena multivariable, se deduce que es diferenciable, y su derivada viene dada por la fórmula: