En geometría diferencial y en sistemas dinámicos, una geodésica cerrada sobre una variedad de Riemann es aquella línea geodésica que regresa a su punto de partida con la misma dirección tangente. Puede formalizarse como la proyección de una órbita cerrada de un flujo geodésico sobre el espacio tangente de la variedad.
Definición En una variedad de Riemann (M,g), una geodésica cerrada es una curva que es una línea geodésica para la métrica g y es periódica.
Las geodésicas cerradas pueden caracterizarse mediante un principio variacional. Denotando por el espacio de curvas suaves 1-periódicas sobre M, las geodésicas cerradas de periodo 1 son precisamente los puntos críticos de la función de energía , definida por:
Si es una geodésica cerrada de periodo p, la curva reparametrizada es una geodésica cerrada de periodo 1 y, por lo tanto, es un punto crítico de E. Si es un punto crítico de E, también lo son las curvas reparametrizadas , para cada , definidas por . Así, toda geodésica cerrada en M da lugar a una secuencia infinita de puntos críticos de la energía E.
Ejemplos
En la 1-esfera -dimensional con la métrica estándar, toda geodésica —un gran círculo— es cerrada. En una superficie lisa topológicamente equivalente a la esfera, esto puede no ser cierto, pero siempre hay al menos tres geodésicas cerradas simples. Esta afirmación se formaliza en el teorema de las tres geodésicas. Las variedades cuyas geodésicas son todas cerradas han sido estudiadas exhaustivamente en la literatura matemática. En una superficie hiperbólica compacta, cuyo grupo fundamental no tiene torsión, las geodésicas cerradas están en correspondencia biunívoca con clases de conjugación no triviales de elementos en el grupo fuchsiano de la superficie.
También es posible definir geodésicas en algunas superficies que no son completamente lisas, como poliedros convexos. La superficie de un poliedro convexo tiene una métrica localmente euclidiana, excepto en sus vértices. Una curva que evita los vértices es una geodésica si sigue segmentos de línea recta dentro de cada cara del poliedro y se mantiene recta al cruzar cada arista. Aunque algunos poliedros tienen geodésicas cerradas simples (por ejemplo, el tetraedro regular y los disfenoides tienen infinitas geodésicas cerradas, todas simples),(Enlace doi roto: 30 de enero de 2026).. otros no.
Véase también Teorema de Lyusternik-Fet Teorema de las tres geodésicas Flujo de acortamiento de una curva Fórmula de traza de Selberg Función zeta de Selberg Superficie de Zoll
Referencias
Bibliografía Besse, A.: "Manifolds all of whose geodesics are closed" (Variedades cuyas geodésicas son todas cerradas), «Ergebisse Grenzgeb. Math.», n.º 93, Springer, Berlín, 1978.
Enlaces externos Geodésicas cerradas en el tetraedro simples (Constantin Kogler) Sobre trayectorias de billar periódicas en polígonos regulares y geodésicas cerradas simples en el tetraedro, cubo y octaedro (Constantin Kogler)
Categoría:Geometría diferencial Categoría:Sistemas dinámicos Categoría:Geodésicas (matemáticas)