La ecuación ZFK, abreviatura de ecuación de Zeldovich–Frank-Kamenetskii, es una ecuación de reacción-difusión que modela la propagación de la llama premezclada. La ecuación lleva el nombre de Yakov Zeldovich y David A. Frank-Kamenetskii, quienes la derivaron en 1938.Zeldovich, Y. B., & Frank-Kamenetskii, D. A. (1938). La teoría de la propagación térmica de las llamas. Zh. Fiz. Khim, 12, 100-105. La ecuación es análoga a la ecuación de KPP, salvo que contiene un comportamiento exponencial para el término de reacción y difiere fundamentalmente de la ecuación de KPP en lo que respecta a la velocidad de propagación de la onda viajera. En forma adimensional, la ecuación se escribe así:
con una fórmula típica para dada por
donde es la variable dependiente adimensional (normalmente la temperatura) y es el número de Zeldovich. En el «régimen ZFK», . La ecuación se reduce a la ecuación de Fisher para y, por lo tanto, corresponde al «régimen KPP». La velocidad mínima de propagación (que suele ser la velocidad asintótica a largo plazo) de una onda progresiva en el régimen de ZFK viene dada por
mientras que en el régimen KPP viene dado por
Solución de onda progresiva miniatura|300px|Solución numérica de la ecuación de ZFK Al igual que en la ecuación de Fisher, se puede encontrar una solución de onda progresiva para este problema. Supongamos que la onda se desplaza de derecha a izquierda con una velocidad constante , entonces, en el sistema de coordenadas asociado a la onda, es decir, el problema se vuelve estacionario. La ecuación de ZFK se reduce a
que satisfacen las condiciones de contorno y . Las condiciones de contorno se satisfacen con suficiente suavidad, de modo que la derivada también tiende a cero cuando . Dado que la ecuación es invariante ante traslaciones en la dirección , se puede utilizar una condición adicional, por ejemplo , para fijar la ubicación de la onda. La velocidad de la onda se obtiene como parte de la solución, constituyendo así un problema de valores propios no lineal.Evans, L. C. (2010). Partial differential equations (Vol. 19). American Mathematical Soc. En la figura se muestran la solución numérica de la ecuación anterior, , el valor propio y el término de reacción correspondiente , mostrado en la figura, calculados para . Solución asintótica Fuente:Williams, F. A. (2018). Combustion theory. CRC Press.
El régimen ZFK como se analiza formalmente utilizando la asintótica de la energía de activación asintóticas de la energía de activación. Dado que es grande, el término hará que el término de reacción sea prácticamente nulo; sin embargo, dicho término no será insignificante si Por lo tanto, está claro que es insignificante en todas partes, salvo en una capa delgada próxima al límite derecho . Así pues, el problema se divide en tres regiones: una región interna difusiva-reactiva flanqueada a ambos lados por dos regiones externas convectivas-difusivas. Región exterior El problema para la región exterior viene dado por
La solución que satisface la condición es . Esta solución también está diseñada para satisfacer (una elección arbitraria) para fijar la ubicación de la onda en algún punto del dominio, ya que el problema es invariante ante traslaciones en la dirección . Como la solución exterior se comporta como lo que, a su vez, implica .
La solución que cumple la condición es . Como la solución exterior se comporta como y, por lo tanto .
Véase que, aunque es continua en , tiene un salto en . La transición entre las derivadas viene descrita por la región interior. Región interior En la región interior donde el término de reacción ya no es insignificante. Para investigar la estructura de la capa interna, se introduce una coordenada estirada que abarca el punto porque es ahí donde \theta tiende a la unidad según la solución exterior y donde la variable dependiente se estira según . Al sustituir estas variables en la ecuación determinante y retener solo los términos de primer orden, obtenemos:
La condición de contorno cuando se deriva del comportamiento local de la solución exterior obtenida anteriormente, que, al expresarla en términos de la coordenada de la zona interior, se convierte en and . De forma similar, cuando , obtenemos . La primera integral de la ecuación anterior, tras imponer estas condiciones de contorno, se convierte en:
lo que implica que . De la primera integral se desprende claramente que el cuadrado de la velocidad de onda es proporcional al valor integrado (con respecto a ) de (por supuesto, en el límite de superior, solo la zona interior contribuye a esta integral). La primera integral, tras sustituir , viene dada por:
Transición KPP–ZFK thumb|300px| Línea negra: calculada numéricamente ; Línea roja: ; Línea azul: . En el régimen KPP, Para el término de reacción utilizado aquí, la velocidad de KPP aplicable para viene dada porClavin, P., & Searby, G. (2016). Combustion waves and fronts in flows: flames, shocks, detonations, ablation fronts and explosion of stars. Cambridge University Press.
donde y son constantes. La velocidad de KPP del modelo es , mientras que la velocidad de ZFK se obtiene como en el límite doble y , que reproduce un fuerte aumento de la reacción cerca de .
Para este modelo existe un valor crítico de tal manera que
Modelo de Clavin–Liñán Para predecir analíticamente la transición KPP–ZFK, Paul Clavin y Amable Liñán propusieron un modelo lineal por tramos sencilloClavin, P., y Liñán, A. (1984). Theory of gaseous combustion. En Nonequilibrium Cooperative Phenomena in Physics and Related Fields (pp. 291-338). Springer, Boston, MA.
donde y son constantes. La velocidad KPP de un modelo es , mientras que la velocidad obtenida por ZFK en el doble límite y que reproduce un fuerte aumento de la reacción cerca de .
Para este modelo existe un valor crítico tal que
Véase también Ecuación de Fisher (dinámica poblacional)
Referencias
Categoría:Ecuaciones en derivadas parciales Categoría:Combustión