En matemáticas, un grupo fucsiano es un subgrupo discreto de PSL(2,R). El grupo PSL(2,R) puede considerarse de forma equivalente como un grupo de isometrías que preservan la orientación del plano hiperbólico, o transformación conforme del disco unidad, o transformaciones conformes del semiplano superior, por lo que un grupo fucsiano puede considerarse como un grupo que actúa en cualquiera de estos espacios. Hay algunas variaciones de la definición: a veces se supone que el grupo fucsiano es finitamente generado, a veces se permite que sea un subgrupo de PGL(2,R) (de modo que contenga elementos que invierten la orientación), y a veces se permite que sea un Grupo kleiniano (un subgrupo discreto de PSL(2,C)) que es conjugado a un subgrupo de PSL(2,R).
Los grupos fuchsianos se utilizan para crear modelos fucsias de superficies de Riemann. En este caso, el grupo podría denominarse grupo fuchsiano de la superficie. En cierto sentido, los grupos fuchsianos cumplen con la geometría no euclidiana lo que los grupos cristalográficos cumplen con la geometría euclidiana. Algunos gráficos de Escher se basan en ellos (para el modelo de disco de la geometría hiperbólica).
Los grupos fuchsianos generales fueron estudiados por primera vez por Henri Poincaré (1892), quien, inspirado por el artículo , los nombró en honor a Lazarus Fuchs.
Grupos fucsianos en el semiplano superior Sea el semiplano superior. Entonces es un modelo del plano hiperbólico cuando se le dota de la métrica.
El grupo PSL(2,R) actúa sobre mediante transformaciones fraccionarias lineales (también conocidas como transformación de Möbius):
Esta acción es fiel y, de hecho, PSL(2,R) es isomorfo al grupo de todas las isometrías que preservan la orientación de .
Un grupo fucsiano puede definirse como un subgrupo de PSL(2,R), que actúa de forma discontinua sobre . Es decir,
Para cada en , la órbita no tiene punto de acumulación en .
Una definición equivalente de que sea fucsiano es que sea un grupo discreto, lo que significa que:
Toda secuencia de elementos de que converge a la identidad en la topología habitual de convergencia puntual es eventualmente constante; es decir, existe un entero tal que, para todo , , donde es la matriz identidad.
Si bien la discontinuidad y la discreción son equivalentes en este caso, esto no suele ser cierto para el caso de un grupo arbitrario de homeomorfismos conformes que actúan sobre la esfera de Riemann completa (a diferencia de ). De hecho, el grupo fucsiano PSL(2,Z) es discreto pero tiene puntos de acumulación en la recta de números reales : los elementos de PSL(2,Z) llevarán a cada número racional, y los racionales Q son denso en R.
Definición general Una transformación fraccionaria lineal definida por una matriz de PSL(2,C) preservará la esfera de Riemann P1(C) = C ∪ ∞, pero enviará el semiplano superior H a un disco abierto Δ. La conjugación mediante dicha transformación enviará un subgrupo discreto de PSL(2,R) a un subgrupo discreto de PSL(2,C) que preserva Δ.
Esto motiva la siguiente definición de un grupo fucsiano. Sea Γ ⊂ PSL(2,C) invariantemente sobre un disco propio, abierto Δ ⊂ C ∪ ∞, es decir, Γ(Δ) = Δ. Entonces Γ es Fuchsiano si y solo si se cumple alguna de las siguientes tres propiedades equivalentes:
Γ es un grupo discreto (con respecto a la topología estándar en PSL(2,C)). Γ actúa [ropiamente discontinua en cada punto z ∈ Δ. El conjunto Δ es un subconjunto de la región de discontinuidad Ω(Γ) de Γ.
Es decir, cualquiera de estas tres puede servir como definición de un grupo fuchsiano, y las demás se presentan como teoremas. La noción de un subconjunto propio invariante Δ es importante; el llamado grupo de Picard PSL(2,Z[i]) es discreto, pero no conserva ningún disco en la esfera de Riemann. De hecho, incluso el grupo modular PSL(2,Z), que es un grupo fuchsiano, no actúa discontinuamente en la recta numérica real; tiene puntos de acumulación en los números racionales. De igual manera, la idea de que Δ es un subconjunto propio de la región de discontinuidad es importante; cuando no lo es, el subgrupo se denomina grupo kleiniano.
Lo más habitual es considerar el dominio invariante Δ como el disco unitario abierto o el semiplano superior.
Conjuntos límite Debido a la acción discreta, la órbita Γz de un punto z en el semiplano superior, bajo la acción de Γ, no tiene puntos de acumulación en dicho semiplano. Sin embargo, puede haber puntos límite en el eje real. Sea Λ(Γ) el conjunto límite de Γ, es decir, el conjunto de puntos límite de Γz para z ∈ H. Entonces, Λ(Γ) ⊆ R ∪ ∞. El conjunto límite puede estar vacío, contener uno o dos puntos, o un número infinito. En este último caso, existen dos tipos:
Un grupo fucsiano del primer tipo es un grupo cuyo conjunto límite es la recta real cerrada R ∪ ∞. Esto ocurre si el espacio cociente H/Γ tiene volumen finito, pero existen grupos fuchsianos del primer tipo de covolumen infinito.
De lo contrario, se dice que un grupo fuchsiano es del segundo tipo. Equivalentemente, se trata de un grupo cuyo conjunto límite es un conjunto perfecto que no es denso en ninguna parte en R ∪ ∞. Dado que no es denso en ninguna parte, esto implica que cualquier punto límite está arbitrariamente cerca de un conjunto abierto que no está en el conjunto límite. En otras palabras, el conjunto límite es un conjunto de Cantor.
El tipo de un grupo fuchsiano no necesariamente coincide con su tipo cuando se considera un grupo kleiniano: de hecho, todos los grupos fuchsianos son grupos kleinianos de tipo 2, ya que sus conjuntos límite (como grupos kleinianos) son subconjuntos propios de la esfera de Riemann, contenidos en algún círculo.
Ejemplos Un ejemplo de grupo fucsiano es el grupo modular, PSL(2,Z). Este es el subgrupo de PSL(2,R) que consiste en transformaciones fraccionarias lineales.
Donde a, b, c, d son números enteros. El espacio cociente H/PSL(2,Z) es el espacio de módulos de las curvas elípticas.
Otros grupos fuchsianos incluyen los grupos Γ(n) para cada entero n > 0. Aquí, Γ(n) consiste en transformaciones fraccionarias lineales de la forma anterior, donde las entradas de la matriz
son congruentes con las de la matriz identidad módulo n.
Un ejemplo co-compacto es el grupo triangular (2,3,7) (ordinario, rotacional), que contiene los grupos fuchsianos del cuártico de Klein y de la superficie de Macbeath, así como otros grupos de Hurwitz. De forma más general, cualquier grupo de von Dyck hiperbólico (el subgrupo de índice 2 de un grupo triangular, correspondiente a isometrías que preservan la orientación) es un grupo fuchsiano.
Todos estos son grupos fuchsianos de primer tipo.
Todos los subgrupos cíclicos hiperbólicos y parabólicos de PSL(2,R) son fuchsianos. Cualquier subgrupo cíclico elípticos es fuchsiano si y solo si es finito. Todo grupo fuchsiano abeliano es cíclico. Ningún grupo fuchsiano es isomorfo a Z × Z. Sea Γ un grupo fucsiano no abeliano. Entonces, el normalizador de Γ en PSL(2,R) es fucsiano.
Propiedades métricas Si h es un elemento hiperbólico, la longitud de traslación L de su acción en el semiplano superior está relacionada con la traza de h como matriz 2×2 mediante la relación
Una relación similar se aplica a la sístole de la superficie de Riemann correspondiente, si el grupo fuchsiano no presenta torsión y es cocompacto.
Bibliografía
Hershel M. Farkas, Irwin Kra, Theta Constants, Riemann Surfaces and the Modular Group, American Mathematical Society, Providence RI, (See section 1.6) Henryk Iwaniec, Spectral Methods of Automorphic Forms, Second Edition, (2002) (Volume 53 in Graduate Studies in Mathematics), America Mathematical Society, Providence, RI (See Chapter 2.) Svetlana Katok, Fuchsian Groups (1992), University of Chicago Press, Chicago David Mumford, Caroline Series, and David Wright, Indra's Pearls: The Vision of Felix Klein, (2002) Cambridge University Press . (Provides an excellent exposition of theory and results, richly illustrated with diagrams.) Peter J. Nicholls, The Ergodic Theory of Discrete Groups, (1989) London Mathematical Society Lecture Note Series 143, Cambridge University Press, Cambridge
Categoría:Geometría hiperbólica Categoría:Fractales Categoría:Grupos discretos