Teorema de Gleason

En física matemática, el teorema de Gleason demuestra que la regla que se utiliza para calcular probabilidades en física cuántica, la regla de Born, puede derivarse de la representación matemática habitual de las mediciones en física cuántica junto con el supuesto de no contextualidad. Andrew M. Gleason demostró por primera vez el teorema en 1957,Gleason, Andrew M. (1957). "Measures on the closed subspaces of a Hilbert space". Indiana University Mathematics Journal. 6 (4): 885–893. doi:10.1512/iumj.1957.6.56050. MR 0096113. respondiendo a una pregunta planteada por George W. Mackey, un logro que fue históricamente significativo por el papel que desempeñó al mostrar que amplias clases de teorías de variables ocultas son inconsistentes con la física cuántica. Desde entonces se han demostrado múltiples variaciones. El teorema de Gleason es especialmente importante para el campo de la lógica cuántica y su intento de encontrar un conjunto mínimo de axiomas matemáticos para la teoría cuántica.

Enunciado del teorema

Antecedentes conceptuales En mecánica cuántica, cada sistema físico está asociado a un espacio de Hilbert. Para los fines de este resumen, se supone que el espacio de Hilbert es finito-dimensional. En el enfoque codificado por John von Neumann, una medida sobre un sistema físico se representa mediante un operador autoadjunto en ese espacio de Hilbert, a veces denominado "observable". Los vectores propios de dicho operador forman una base ortonormal para el espacio de Hilbert, y cada resultado posible de esa medición corresponde a uno de los vectores que componen la base. Un operador de densidad es un operador semidefinido positivo en el espacio de Hilbert cuya traza es igual a 1. En el lenguaje de von Weizsäcker, un operador de densidad es un "catálogo de probabilidades": para cada medida que pueda definirse, la distribución de probabilidad sobre los resultados de esa medida puede calcularse a partir del operador de densidad.Drieschner, M.; Görnitz, Th.; von Weizsäcker, C. F. (1988-03-01). "Reconstruction of abstract quantum theory". International Journal of Theoretical Physics. 27 (3): 289–306. Bibcode:1988IJTP...27..289D. doi:10.1007/bf00668895. ISSN 0020-7748. S2CID 122866239. El procedimiento para hacerlo es la regla de Born, que establece que

donde 𝜌 es el operador de densidad, y Π𝑖 es el operador de proyección sobre el vector base correspondiente al resultado de la medición 𝑥𝑖

.La regla de Born asocia una probabilidad a cada vector unitario en el espacio de Hilbert, de manera que estas probabilidades suman 1 para cualquier conjunto de vectores unitarios que comprenda una base ortonormal. Además, la probabilidad asociada a un vector unitario es una función del operador de densidad y del vector unitario, y no de información adicional como la elección de la base en la que se inserta dicho vector. El teorema de Gleason establece lo contrario: todas las asignaciones de probabilidades a vectores unitarios (o, equivalentemente, a los operadores que se proyectan sobre ellos) que satisfacen estas condiciones adoptan la forma de aplicar la regla de Born a algún operador de densidad. El teorema de Gleason se cumple si la dimensión del espacio de Hilbert es igual o superior a 3; existen contraejemplos para la dimensión 2.

Derivación del espacio de estados y la regla de Born La probabilidad de cualquier resultado de una medida en un sistema cuántico debe ser un número real entre 0 y 1 inclusive, y para ser consistente, para cualquier medida individual las probabilidades de los diferentes resultados posibles deben sumar 1. El teorema de Gleason muestra que cualquier función que asigne probabilidades a los resultados de las mediciones, identificados por operadores de proyección, debe ser expresable en términos de un operador de densidad y la regla de Born. Esto no sólo da la regla para calcular las probabilidades, sino que también determina el conjunto de posibles estados cuánticos.

Sea 𝑓 sea una función de los operadores de proyección al intervalo unitario con la propiedad de que, si un conjunto {Π𝑖} de operadores de proyección suman a la matriz identidad (es decir, si corresponden a una base ortonormal), entoncesUna función de este tipo expresa una asignación de valores de probabilidad a los resultados de las mediciones, una asignación que es "no contextual" en el sentido de que la probabilidad de un resultado no depende de la medición en la que está incluido ese resultado, sino sólo de la representación matemática de ese resultado específico, es decir, de su operador de proyección:Barnum, H.; Caves, C. M.; Finkelstein, J.; Fuchs, C. A.; Schack, R. (2000-05-08). "Quantum probability from decision theory?". Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 456 (1997): 1175–1182. arXiv:quant-ph/9907024. Bibcode:2000RSPSA.456.1175B. CiteSeerX 10.1.1.769.8732. doi:10.1098/rspa.2000.0557. ISSN 1364-5021. S2CID 11563591.Pitowsky, Itamar (2003). "Betting on the outcomes of measurements: a Bayesian theory of quantum probability". Studies in History and Philosophy of Modern Physics. 34 (3): 395–414. arXiv:quant-ph/0208121. Bibcode:2003SHPMP..34..395P. doi:10.1016/S1355-2198(03)00035-2. §1.3:Pitowsky, Itamar (2006). "Quantum mechanics as a theory of probability". In Demopoulos, William; Pitowsky, Itamar (eds.). Physical Theory and its Interpretation: Essays in Honor of Jeffrey Bub. Springer. p. 213. arXiv:quant-ph/0510095. Bibcode:2005quant.ph.10095P. . OCLC 917845122. §2.1 Kunjwal, Ravi; Spekkens, Rob W. (2015-09-09). "From the Kochen–Specker theorem to noncontextuality inequalities without assuming determinism". Physical Review Letters. 115 (11): 110403. arXiv:1506.04150. Bibcode:2015PhRvL.115k0403K. doi:10.1103/PhysRevLett.115.110403. PMID 26406812. S2CID 10308680.El teorema de Gleason establece que para cualquier función de este tipo 𝑓existe un operador semidefinido positivo 𝜌 con traza unitaria tal queTanto la regla de Born como el hecho de que los "catálogos de probabilidad" sean operadores semidefinidos positivos de traza unitaria se derivan de los supuestos de que las medidas están representadas por bases ortonormales y de que las asignaciones de probabilidad son "no contextuales". Para que el teorema de Gleason sea aplicable, el espacio en el que se definen las medidas debe ser un espacio de Hilbert real o complejo, o un módulo cuaterniónico (el argumento de Gleason es inaplicable si, por ejemplo, se intenta construir un análogo de la mecánica cuántica utilizando números p-ádicos).

Historia y esquema de la prueba de Gleason miniaturadeimagen|Gleason en 1959 En 1932, John von Neumann también consiguió deducir la regla de Born en su libro de texto Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica. Sin embargo, las suposiciones sobre las que von Neumann construyó su prueba de ausencia de variables ocultas eran bastante fuertes y finalmente se consideró que no estaban bien motivadas.Bell, John (1966). "On the Problem of Hidden Variables in Quantum Mechanics". Reviews of Modern Physics. 38 (3): 447. Bibcode:1966RvMP...38..447B. doi:10.1103/RevModPhys.38.447. OSTI 1444158. En concreto, von Neumann asumió que la función de probabilidad debía ser lineal en todos los observables, conmutables o no conmutables. Su prueba fue ridiculizada por John Bell como "¡no sólo falsa, sino estúpida!".Bub, Jeffrey (2010). "Von Neumann's 'No Hidden Variables' Proof: A Re-Appraisal". Foundations of Physics. 40 (9–10): 1333–1340. arXiv:1006.0499. Bibcode:2010FoPh...40.1333B. doi:10.1007/s10701-010-9480-9. S2CID 118595119.Mermin, N. David; Schack, Rüdiger (2018). "Homer nodded: von Neumann's surprising oversight". Foundations of Physics. 48 (9): 1007–1020. arXiv:1805.10311. Bibcode:2018FoPh...48.1007M. doi:10.1007/s10701-018-0197-5. S2CID 118951033. Gleason, por otro lado, no asumió la linealidad, sino simplemente la aditividad para los proyectores conmutativos junto con la no contextualidad, suposiciones consideradas mejor motivadas y más significativas físicamente.Peres, Asher (1992). "An experimental test for Gleason's theorem". Physics Letters A. 163 (4): 243–245. Bibcode:1992PhLA..163..243P. doi:10.1016/0375-9601(92)91005-C.

A finales de la década de 1940, George Mackey se había interesado por los fundamentos matemáticos de la física cuántica, preguntándose en particular si la regla de Born era la única regla posible para calcular probabilidades en una teoría que representaba las medidas como bases ortonormales en un espacio de Hilbert.Mackey, George W. (1957). "Quantum Mechanics and Hilbert Space". The American Mathematical Monthly. 64 (8P2): 45–57. doi:10.1080/00029890.1957.11989120. JSTOR 2308516.Chernoff, Paul R. "Andy Gleason and Quantum Mechanics" (PDF). Notices of the AMS. 56 (10): 1253–1259. Mackey discutió este problema con Irving Segal en la Universidad de Chicago, quien a su vez se lo planteó a Richard Kadison, entonces estudiante de posgrado. Kadison demostró que para espacios de Hilbert bidimensionales existe una medida de probabilidad que no se corresponde con los estados cuánticos y la regla de Born. El resultado de Gleason implica que esto sólo ocurre en dimensión 2.

La prueba original de Gleason procede en tres etapas:Hrushovski, Ehud; Pitowsky, Itamar (2004-06-01). "Generalizations of Kochen and Specker's theorem and the effectiveness of Gleason's theorem". Studies in History and Philosophy of Science Part B: Studies in History and Philosophy of Modern Physics. 35 (2): 177–194. arXiv:quant-ph/0307139. Bibcode:2004SHPMP..35..177H. doi:10.1016/j.shpsb.2003.10.002. S2CID 15265001. §2 En la terminología de Gleason, una función marco es una función de valor real 𝑓 en la esfera unitaria de un espacio de Hilbert tal quesiempre que los vectores 𝑥𝑖 constituyan una base ortonormal. Una asignación de probabilidad no contextual como la definida en la sección anterior es equivalente a una función marco. Cualquier medida de este tipo que pueda escribirse de la manera estándar, es decir, aplicando la regla de Born a un estado cuántico, se denomina función marco regular. Gleason deduce una serie de lemas sobre cuándo una función marco es necesariamente regular, que culminan en el teorema final. En primer lugar, establece que toda función marco continua en el espacio de Hilbert 𝑅3 es regular. Este paso utiliza la teoría de los armónicos esféricos. A continuación, demuestra que las funciones marco en 𝑅3 tienen que ser continuas, lo que establece el teorema para el caso especial de 𝑅3. Este paso se considera el más difícil de la demostraciónCooke, Roger; Keane, Michael; Moran, William (1985). "An elementary proof of Gleason's theorem". Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 98 (1): 117–128. Bibcode:1985MPCPS..98..117C. doi:10.1017/S0305004100063313. S2CID 124627182. y, por último, demuestra que el problema general puede reducirse a este caso especial. Gleason atribuye un lema utilizado en esta última etapa de la prueba a su estudiante de doctorado Richard Palais.

Robin Lyth Hudson describió el teorema de Gleason como "célebre y notoriamente difícil"Hudson, Robin Lyth (1986). "Geometry of quantum theory". The Mathematical Gazette. 70 (454): 332–333. doi:10.2307/3616230. JSTOR 3616230. Cooke, Keane y Moran produjeron posteriormente una demostración más larga que la de Gleason, pero que requiere menos prerrequisitos.

Implicaciones