En geometría y álgebra lineal, un tensor cartesiano utiliza una base ortonormal para representar un tensor en un espacio euclídeo en forma de componentes. La conversión de las componentes de un tensor de una base a otra se realiza mediante una transformación ortogonal.

Los sistemas de coordenadas más familiares son los sistemas cartesianos bidimensionales y tridimensionales. Los tensores cartesianos se pueden usar con cualquier espacio euclidiano o, más técnicamente, con cualquier espacio vectorial de dimensión finita sobre el cuerpo de los números reales que tenga asociado un espacio prehilbertiano.

El uso de tensores cartesianos se da en física e ingeniería, como ocurre con el tensor de tensión y el tensor de momento de inercia en la dinámica de cuerpos rígidos. En ocasiones es conveniente el uso de coordenadas curvilíneas generales, como en el caso de la mecánica de medios continuos de alta deformación, o incluso necesario, como sucede en la relatividad general. Si bien se pueden encontrar bases ortonormales para algunos de estos sistemas de coordenadas (como por ejemplo, las tangentes a las coordenadas esféricas), los tensores cartesianos pueden proporcionar una simplificación considerable para aplicaciones en las que son suficientes las rotaciones respecto a ejes de coordenadas rectilíneos. La transformación es pasiva, ya que se cambian las coordenadas pero no el sistema físico.

Base cartesiana y terminología relacionada

Vectores en tres dimensiones

En el espacio euclídeo tridimensional , se define la base canónica , , . Cada vector de la base apunta según los ejes x, y y z, y todos los vectores son unitarios (o normalizados), por lo que la base es ortonormal.

En todo momento, cuando se hace referencia a coordenadas cartesianas en tres dimensiones, se supone un sistema orientado a la derecha y esto en la práctica es mucho más común que un sistema orientado a la izquierda (consúltese el artículo sobre orientación para obtener más detalles).

Para tensores cartesianos de orden 1, un vector cartesiano se puede escribir algebraicamente como una combinación lineal de los vectores base , , :

donde las coordenadas del vector con respecto a la base cartesiana se denotan como , , . Es común y útil denotar los vectores base como vectores columna.

cuando se tienen las componentes de un vector en una representación de un vector columna:

Una representación como vectores fila también es posible, aunque en el contexto de sistemas de coordenadas curvilíneos generales las representaciones de vectores fila y columna se usan por separado por razones específicas (consúltese convenio de suma de Einstein y covarianza y contravarianza para saber por qué).

El término componente de un vector es ambiguo, y puede referirse a:

Una coordenada específica del vector como (un escalar), y de manera similar para y , o El escalar de coordenadas que multiplica el vector base correspondiente, en cuyo caso la componente de es (un vector), y de manera similar para y .

Una notación más general es la notación tensorial indexada, que tiene la flexibilidad de emplear valores numéricos en lugar de etiquetas de coordenadas fijas. Las etiquetas cartesianas se reemplazan por índices tensoriales en los vectores base , , y las coordenadas , , . En general, la notación , , se refiere a cualquier base, y , , se refiere al sistema de coordenadas correspondiente, aunque aquí están restringidos al sistema cartesiano. Entonces:

Es estándar utilizar el convenio de suma de Einstein: el signo de suma para la suma de un índice que está presente exactamente dos veces dentro de un término puede suprimirse para mayor concisión en la notación:

Una ventaja de la notación indexada sobre las notaciones de coordenadas específicas es la independencia de la dimensión del espacio vectorial subyacente, es decir, la misma expresión en el lado derecho toma la misma forma en dimensiones superiores (véase más adelante). Anteriormente, las etiquetas cartesianas x, y, z eran solo etiquetas y no índices (de manera informal, se puede decir que "i = x, y, z").

Tensores de segundo orden en tres dimensiones

Un tensor diádico T es un tensor de orden 2 formado por el producto tensorial de dos vectores cartesianos y , escritos . De manera análoga a los vectores, se puede escribir como una combinación lineal de la base tensorial , , ..., (el lado derecho de cada identidad es solo una abreviatura, nada más):

Representando cada tensor de base como una matriz:

entonces se puede representar de forma más sistemática como una matriz:

Consúltese el artículo sobre multiplicación de matrices para conocer la correspondencia de la notación entre matrices y los productos escalares y tensoriales.

De manera más general, sea o no un producto tensorial de dos vectores, siempre es una combinación lineal de los tensores de base con coordenadas , , ..., :

mientras que en términos de índices tensoriales:

y en forma matricial:

Los tensores de segundo orden aparecen naturalmente en física e ingeniería cuando las magnitudes tienen una dependencia direccional en el sistema, a menudo en forma de estímulo-respuesta. Esto se puede ver matemáticamente a través de un aspecto de los tensores: son funciones multilineales. Un tensor de segundo orden T que transforma un vector u de cierta magnitud y dirección devolverá un vector v en general de diferente magnitud y en diferente dirección a u. La notación utilizada para una función en análisis matemático lleva a escribir ,, utilizada en todo lo anterior mientras que la misma idea se puede expresar en notaciones matriciales e índices, véase el Apéndice C. (incluida la convención de la suma), respectivamente:

Por la condición de linealidad, si para dos escalares y y vectores y , entonces en notaciones de función e índice:

y de manera similar para la notación matricial. Las notaciones de función, matriz e índice significan lo mismo. Las formas matriciales proporcionan una visualización clara de los componentes, mientras que la forma indexada permite una manipulación tensorial-algebraica más sencilla de las fórmulas y de aspecto más compacto. Ambos proporcionan la interpretación física de las direcciones; los vectores tienen una dirección, mientras que los tensores de segundo orden conectan dos direcciones. Se puede asociar un índice tensorial o una etiqueta de coordenadas con una dirección de vector base.

El uso de tensores de segundo orden es el mínimo para describir cambios en magnitudes y direcciones de vectores, ya que el producto escalar de dos vectores es siempre un escalar, mientras que el producto vectorial de dos vectores es siempre un seudovector perpendicular al plano definido por los dos vectores, por lo que estos productos de vectores por sí solos no pueden obtener un nuevo vector de cualquier magnitud en unq dirección cualquiera (consúltese también a continuación para obtener más información sobre los productos escalar y vectorial). El producto tensorial de dos vectores es un tensor de segundo orden, aunque no tiene una interpretación direccional obvia por sí solo.

Se puede continuar con la idea anterior: si toma dos vectores y , devolverá un escalar . En notación de funciones se escribe , mientras que en notaciones matriciales e indexada (incluida la convención de suma) respectivamente:

El tensor T es lineal en ambos vectores de entrada. Cuando los vectores y los tensores se escriben sin referencia a componentes y no se utilizan índices, a veces se coloca un punto · donde se toman las sumas de los índices (conocidos como contracción tensorial). Para los casos anteriores:

motivado por la notación del producto escalar:

De manera más general, un tensor de orden que transforma vectores de diemnsión (donde está entre y inclusive) devolverá un tensor de orden (consúltese el párrafo sobre aplicaciones multilineales para obtener más generalizaciones y detalles). Los conceptos anteriores también se aplican a seudovectores de la misma manera que a los vectores. Los propios vectores y tensores pueden variar en el espacio, en cuyo casose tienen campos vectoriales y campos tensoriales, y también pueden depender del tiempo.

A continuación se muestran algunos ejemplos:

La aplicación de un(a)......a un material u objeto de......resulta en......en el material u objeto, dado por:vector unitario tensor de tensión una fuerza de tracción velocidad angular momento de inercia un momento angular una energía cinética rotational campo eléctrico conductividad eléctrica un flujo de densidad de corriente polarizabilidad (relacionada con la permitividad y la susceptibilidad eléctrica )un campo de polarización inducida campo magnético permeabilidad magnética un campo magnético

Para el ejemplo de la conducción eléctrica, las notaciones indexada y matricial serían:

mientras que para la energía cinética rotacional :

Consulte también ecuación constitutiva para obtener ejemplos más particulares.

Vectores y tensores en dimensiones

En el espacio euclídeo de dimensión sobre los números reales, , la base estándar se denota como , , , ... . Cada vector de la base apunta en el eje positivo , siendo la base ortonormal. La componente de viene dada por la delta de Kronecker:

Un vector en toma la forma:

De manera similar para el tensor de orden 2 anterior, para cada vector a y b en :

o más generalmente:

Transformaciones de vectores cartesianos (cualquier número de dimensiones)

Significado de invariancia bajo transformaciones de coordenadas

La posición en es un ejemplo simple y común de un vector, y se puede representar en cualquier sistema de coordenadas. Considérese únicamente el caso de las coordenadas cartesianas con bases ortonormales. Es posible tener un sistema de coordenadas con geometría rectangular si los vectores de la base son todos mutuamente perpendiculares y no están normalizados, en cuyo caso la base es ortogonal pero no ortonormal. Sin embargo, las bases ortonormales son más fáciles de manipular y se utilizan con frecuencia en la práctica. Los siguientes resultados son válidos para bases ortonormales, no ortogonales.

En un sistema de coordenadas rectangular, como contravector tiene coordenadas y vectores base , mientras que como covector tiene coordenadas y covectores base , y se tiene que:

En otro sistema de coordenadas rectangular, como contravector tiene coordenadas y base , mientras que como covector tiene coordenadas y base , y entonces:

Cada nueva coordenada es función de todas las antiguas, y viceversa para la función inversa:

y de manera similar cada nuevo vector base es función de todos los antiguos, y viceversa para la función inversa:

para todos los , .

Un vector es invariante ante cualquier cambio de base, por lo que si las coordenadas se transforman según una matriz de transformación , las bases se transforman según la matriz invertible ; y a la inversa, si las coordenadas se transforman según una matriz inversa, las bases se transforman según la matriz . La diferencia entre cada una de estas transformaciones se muestra convencionalmente a través de los índices como superíndices de contravarianza y subíndices de covarianza, y las coordenadas y bases son transformadas linealmente según las siguientes reglas:

Elementos vectoriales Ley de transformación contravariante Ley de transformación covariante Coordenadas Bases Cualquier vector

donde representa los valores de la matriz de transformación (el número de fila es y el número de columna es ) y denota los valires de la matriz inversa de la matriz .

Si es una transformación ortogonal (matriz ortogonal), los objetos que transforma se definen como tensores cartesianos. Esto geométricamente tiene la interpretación de que un sistema de coordenadas rectangular se asigna a otro sistema de coordenadas rectangular, en el que se conserva la norma del vector (y se conservan las distancias).