En matemática pura y aplicada, mecánica cuántica y computación gráfica, un operador tensorial generaliza las nociones de operadores escalares y vectoriales. Una clase especial son los operadores tensoriales esféricos, que aplican las nociones de base esférica y de armónicos esféricos. Las bases esféricas se relacionan estrechamente con la descripción de momento angular en mecánica cuántica y de las funciones armónicas esféricas. La generalización libre de coordenadas de un operador tensorial se conoce como operador de representación.
Noción general de operadores escalares, vectoriales y tensoriales
En mecánica cuántica, los observables físicos que son escalares, vectores y tensores deben representarse mediante operadores escalares, vectoriales y tensoriales, respectivamente. Que algo sea un escalar, un vector o un tensor depende de cómo lo ven dos observadores cuyos sistemas de referencia de coordenadas están relacionados entre sí mediante una rotación. Alternativamente, puede preguntarse cómo, para un solo observador, se transforma una cantidad física si se rota el estado del sistema. Considérese, por ejemplo, un sistema formado por una molécula de masa , que viaja con un centro de impulso de masa definido, , en la dirección . Si se gira el sistema alrededor del eje , el impulso cambiará a , que está en la dirección . Sin embargo, la energía cinética del centro de masa de la moléculase mantendrá en . La energía cinética es un escalar y el momento es un vector, y estas dos cantidades deben representarse mediante un operador escalar y vectorial, respectivamente. Por esto último en particular, se hace referencia a un operador cuyos valores esperados en los estados inicial y rotado son y . La energía cinética, por otro lado, debe representarse mediante un operador escalar, cuyo valor esperado debe ser el mismo en el estado inicial y en el estado rotado.
De la misma manera, las cantidades tensoriales deben representarse mediante operadores tensoriales. Un ejemplo de cantidad tensorial (de rango dos) es el momento cuadripolar eléctrico de la molécula anterior. Asimismo, los momentos octupolar y hexadecápolar serían tensores de rango tres y cuatro, respectivamente.
Otros ejemplos de operadores escalares son el operador de energía total (más comúnmente llamado hamiltoniano), la energía potencial y la energía de interacción dipolo-dipolo de dos átomos. Ejemplos de operadores vectoriales son el momento, la posición, el momento angular orbital, , y el momento angular de espín, (observación: el momento angular es un vector en lo que respecta a las rotaciones, pero a diferencia de la posición o el impulso, no cambia de signo bajo la inversión espacial, y cuando se desea manejar esta propiedad, se dice que es un seudovector).
Los operadores escalares, vectoriales y tensoriales también pueden formarse mediante productos de operadores. Por ejemplo, el producto escalar de los dos operadores vectoriales, y , es un operador escalar que ocupa un lugar destacado en las discusiones sobre la interacción espín-órbita. De manera similar, el tensor de momento cuadripolar de la molécula del ejemplo anterior tiene nueve componentes
Aquí, los índices y pueden tomar independientemente los valores 1, 2 y 3 (o , y ) correspondientes a los tres ejes cartesianos, el índice recorre todas las partículas (electrones y núcleos) en el molécula, es la carga de la partícula y es el -ésimo componente de la posición de esta partícula. Cada término de la suma es un operador tensorial. En particular, los nueve productos juntos forman un tensor de rango dos, formado tomando el producto exterior del operador vectorial consigo mismo.
Rotaciones de estados cuánticos
Operador de rotación cuántica
El rotacional sobre el vector unitario n (que define el eje de rotación) a través del ángulo θ es
donde son los generadores de rotación (también las matrices de momento angular):
y sea una matriz de rotación. Según la fórmula de rotación de Rodrigues, el operador de rotación equivale entonces a
Un operador es invariante bajo una transformación unitaria U si
en este caso para la rotación ,
Propiedades del impulso angular
La base ortonormal establecida para el momento angular total es , donde j es el número cuántico del momento angular total y m es el número cuántico del momento angular magnético, que toma valores −j, −' 'j + 1, ..., j − 1, j. Un estado general dentro del subespacio jrota a un nuevo estado según:
Usando la condición de completitud:
se obtiene
Presentando los elementos de la matriz D de Wigner:
da la multiplicación de matrices:
Para una base:
Para el caso del momento angular orbital, los estados propios del momento angular orbital L y las soluciones de la ecuación de Laplace en una esfera 3d son armónicos esféricos:
donde Pℓm es un polinomio asociado de Legendre, ℓ es el número cuántico del momento angular orbital y m es el número cuántico magnético orbital que toma los valores −ℓ, −ℓ + 1, ... ℓ − 1, ℓ El formalismo de los armónicos esféricos tiene amplias aplicaciones en matemáticas aplicadas y está estrechamente relacionado con el formalismo de los tensores esféricos, como se muestra a continuación.
Los armónicos esféricos son funciones de los ángulos polar y azimutal, ϕ y θ respectivamente, que se pueden recopilar convenientemente en un vector unitario n(θ, ϕ ) apuntando en la dirección de esos ángulos, en base cartesiana es:
Por tanto, un armónico esférico también se puede escribir . Los estados armónicos esféricos giran según la matriz de rotación inversa , mientras que gira según la matriz de rotación inicial .
Rotación de operadores tensoriales
Se define la rotación de un operador requiriendo que el valor esperado del operador original con respecto al estado inicial sea igual al valor esperado del operador rotado con respecto al estado rotado.
Ahora, como
se tiene que
ya que es arbitrario,
Operadores escalares
Un operador escalar es invariante bajo rotaciones:
Esto equivale a decir que un operador escalar conmuta con los generadores de rotación:
Ejemplos de operadores escalares incluyen El operador de energía:
La energía potencial V (solo en el caso de un potencial central):
La energía cinética T:
El acoplamiento de espín orbital:
Operadores vectoriales
Los operadores vectoriales (así como los operadores seudovectoriales) son un conjunto de 3 operadores que se pueden rotar según:
Cualquier cantidad vectorial observable de un sistema mecánico cuántico debe ser invariante de la elección del sistema de referencia. La transformación del vector de valor esperado, que se aplica a cualquier función de onda, garantiza la igualdad anterior. En notación de Dirac:
donde el lado derecho de la ecuación se debe a la transformación de rotación que actúa sobre el vector formado por los valores esperados. Dado que |Ψ⟩ es cualquier estado cuántico, se obtiene el mismo resultado:
Debe tenerse en cuenta que aquí, el término vector se usa de dos maneras diferentes: como |ψ⟩ son elementos de espacios abstractos de Hilbert, mientras que el operador vectorial se define como una cantidad cuyas componentes se transforman de cierta manera bajo rotaciones.
De la relación anterior para rotaciones infinitesimales y de acuerdo con el lema de Baker Hausdorff, al igualar coeficientes de orden , se puede deducir la relación de conmutación con el generador de rotación:
donde εijk es el símbolo de Levi-Civita, que todos los operadores vectoriales deben satisfacer por construcción. La regla del conmutador anterior también se puede usar como una definición alternativa para operadores vectoriales que se pueden mostrar usando el lema de Baker-Hausdorff. Como el símbolo εijk es un seudotensor, los operadores de seudovectores tienen (salvo invariantes) un signo: +1 para rotaciones propias y −1 para rotaciones impropias.
Dado que se puede demostrar que los operadores forman un operador vectorial mediante su relación de conmutación con los componentes del momento angular (que son generadores de rotación), sus ejemplos incluyen: El operador de posición:
El operador de momento:
y los operadores seudovectoriales incluyen: El operador del momento angular orbital:
El operador de espín S, y por tanto el momento angular total:
Operadores escalares de operadores vectoriales Si y son dos operadores vectoriales, el producto escalar entre los dos operadores vectoriales se puede definir como:
Bajo la rotación de coordenadas, el operador recién definido se transforma como:
Reorganizando los términos y usando la transposición de la matriz de rotación como su propiedad inversa:
donde el lado derecho de la ecuación es el operador definido originalmente. Dado que el producto escalar definido es invariante bajo la transformación de rotación, se dice que es un operador escalar.
Operadores vectoriales esféricos
Un operador vectorial en una base esférica es , donde las componentes son:
usando los diversos conmutadores con los generadores de rotación y operadores de escalera son:
que son de forma similar a:
En una base esférica, los generadores de rotación son:
De la transformación de operadores y del lema de Baker-Hausdorff:
en comparación con
Se puede argumentar que el conmutador con operador reemplaza la acción del operador sobre el estado para transformaciones de operadores en comparación con la de estados:
La transformación de rotación en la base esférica (originalmente escrita en una base cartesiana) es entonces, debido a la similitud de la conmutación y del operador mostrado arriba:
Se puede generalizar fácilmente el concepto de operador vectorial a los operadores tensoriales, como se muestra a continuación.
Operadores tensoriales
En general, un operador tensorial es aquel que se transforma según un tensor:
donde las bases se transforman mediante o las componentes del vector se transforman mediante .
En la discusión posterior sobre los operadores tensoriales, la notación de índice relativa al comportamiento covariante/contravariante se ignora por completo. En cambio, las componentes contravariantes están implícitas en el contexto. Por lo tanto, para un tensor n veces contravariante:
Ejemplos de operadores tensoriales El operador de momento cuadrupolar, : Las componentes de dos operadores tensoriales vectoriales se pueden multiplicar para obtener otro operador tensorial:
En general, un número n de operadores tensoriales también darán otro operador tensorial:
o,Nota: En general, un operador tensorial no se puede escribir como el producto tensorial de otros operadores tensoriales, como sí se hace en el ejemplo anterior.
Operador tensorial de operadores vectoriales Si y son dos operadores vectoriales tridimensionales, entonces se pueden formar tensores diádicos cartesianos de rango 2 a partir de nueve operadores de la forma:
,:
Reorganizando los términos, se obtiene:
El lado derecho de la ecuación incluye el cambio de base para tensores dos veces contravariantes, en los que la base se transforma mediante o los componentes del vector se transforman mediante , lo que coincide con la transformación de los componentes del operador del vector. Por lo tanto, el operador tensor descrito forma un tensor de rango 2, en representación tensorial:
De manera similar, un operador tensorial n veces contravariante se puede formar de manera similar mediante n operadores vectoriales.