En matemáticas, y particularmente en teoría de conjuntos, el principio del diamante ("diamondsuit" en inglés) es un principio combinatorio introducido por Ronald Jensen en 1972, que se cumple en el universo constructible () y que implica la hipótesis del continuo. Jensen extrajo el principio del diamante de su prueba de que el axioma de constructibilidad () implica la existencia de un árbol de Suslin.

Definiciones El principio del diamante dice que existe una secuencia ◊, una familia de conjuntos para tal que para cualquier subconjunto de ω1 el conjunto de con es estacionario en .

Existen varias formas equivalentes del principio del diamante. Uno afirma que hay una colección contable de subconjuntos de para cada ordinal contable , de modo que para cualquier subconjunto de hay un subconjunto estacionario de de modo que para todos los en se tiene que y . Otra forma equivalente establece que existen conjuntos para tales que para cualquier subconjunto de hay al menos un infinito con .

De manera más general, para un cardinal dado y un conjunto estacionario , la declaración (a veces escrita o ) es la declaración de que existe un sucesión tal que

Cada Para cada , es estacionario en

El principio es el mismo que .

El principio del diamante plus establece que existe una secuencia , en otras palabras, una colección numerable de subconjuntos de para cada ordinal contable α tal que para cualquier subconjunto de hay un subconjunto ilimitado cerrado de , de modo que para todos los en se tiene que y .

Propiedades y uso demostró que el principio del diamante implica la existencia del árbol de Suslin. También demostró que implica el principio del diamante plus, que implica el principio del diamante, que a su vez implica la hipótesis del continuo (HC). En particular, el principio del diamante y el principio del diamante plus son ambos independientes de los axiomas de Zermelo-Fraenkel. También implica , pero Shelah dio modelos de , por lo que y no son equivalentes (más bien, es más débil que ).

Matet demostró que el principio es equivalente a una propiedad de las particiones de con intersección diagonal de los segmentos iniciales de las particiones estacionarias en .P. Matet, "On diamond sequences". Fundamenta Mathematicae vol. 131, iss. 1, pp.35--44 (1988)

El principio del diamante no implica la existencia de un árbol de Kurepa, pero el principio más fuerte implica tanto el principio como la existencia de un árbol de Kurepa.

usó para construir un -álgebra que sirviera como contraejemplo para el problema de Naimark.

Para todos los cardinales y conjuntos estacionarios , se mantiene en universo constructible. demostró que para , se deriva de para estacionario que no contiene ordinales de cofinalidad .

Shelah demostró que el principio del diamante resuelve el problema de Whitehead al implicar que cada grupo de Whitehead es libre.

Véase también Anexo:Declaraciones independientes de los axiomas de Zermelo-Frankel Declaraciones verdaderas en

Referencias

Bibliografía

Categoría:Teoría de conjuntos Categoría:Principios matemáticos