En física cuántica, una medición es la comprobación o manipulación de un sistema físico para obtener un resultado numérico. Una característica fundamental de la teoría cuántica es que las predicciones que hace son probabilísticas. El procedimiento para hallar una probabilidad consiste en combinar un estado cuántico, que describe matemáticamente un sistema cuántico, con una representación matemática de la medición que se va a realizar en ese sistema. La fórmula para este cálculo se conoce como regla de Born. Por ejemplo, una partícula cuántica como un electrón puede describirse mediante un estado cuántico que asocia a cada punto del espacio un número complejo denominado amplitud de probabilidad. Aplicando la regla de Born a estas amplitudes se obtienen las probabilidades de que el electrón se encuentre en una región u otra cuando se realiza un experimento para localizarlo. Esto es lo mejor que puede hacer la teoría; no puede decir con certeza dónde se encontrará el electrón. El mismo estado cuántico también puede utilizarse para predecir cómo se moverá el electrón, si se realiza un experimento para medir su momento en lugar de su posición. El principio de incertidumbre implica que, sea cual sea el estado cuántico, el rango de predicciones para la posición del electrón y el rango de predicciones para su momento no pueden ser ambos estrechos. Algunos estados cuánticos implican una predicción casi segura del resultado de una medida de posición, pero el resultado de una medida de momento será altamente impredecible, y viceversa. Además, el hecho de que la naturaleza viole las condiciones estadísticas conocidas como desigualdades de Bell indica que la imprevisibilidad de los resultados de las mediciones cuánticas no puede explicarse como debida a la ignorancia sobre las "variables ocultas locales" dentro de los sistemas cuánticos.

Medir un sistema cuántico suele cambiar el estado cuántico que describe ese sistema. Se trata de una característica central de la mecánica cuántica, matemáticamente compleja y conceptualmente sutil. Las herramientas matemáticas para predecir los resultados de las mediciones y cómo pueden cambiar los estados cuánticos se desarrollaron en el y utilizan el álgebra lineal y el análisis funcional. La física cuántica ha demostrado ser un éxito empírico y tener una amplia aplicabilidad. Sin embargo, en un plano más filosófico, continúan los debates sobre el significado del concepto de medición.

Formalismo matemático

"Observables" como operadores autoadjuntos

En mecánica cuántica, cada sistema físico está asociado a un espacio de Hilbert, cada uno de cuyos elementos representa un posible estado del sistema físico. El enfoque codificado por John von Neumann representa una medida sobre un sistema físico mediante un operador autoadjunto sobre ese espacio de Hilbert denominado "observable": 17 Estos observables desempeñan el papel de las magnitudes medibles conocidas de la física clásica: posición, momento, energía, momento angular, etcétera. La dimensión del espacio de Hilbert puede ser infinita, como ocurre con el espacio de funciones cuadradas integrables en una recta, que se utiliza para definir la física cuántica de un grado de libertad continuo. Otra posibilidad es que el espacio de Hilbert sea finito, como ocurre con los grados de libertad de los espines. Muchos tratamientos de la teoría se centran en el caso de dimensión finita, ya que las matemáticas implicadas son algo menos exigentes. De hecho, los textos introductorios de física sobre mecánica cuántica a menudo pasan por alto los tecnicismos matemáticos que surgen para observables de valor continuo y espacios de Hilbert de dimensión infinita, como la distinción entre operadores acotados y no acotados; cuestiones de convergencia (si el límite de una secuencia de elementos del espacio de Hilbert también pertenece al espacio de Hilbert), posibilidades exóticas para conjuntos de valores propios, como los conjuntos de Cantor, etc.: 79 Estas cuestiones pueden resolverse satisfactoriamente utilizando la teoría espectral;: 101 el presente artículo las evitará siempre que sea posible.

Medición proyectiva Los vectores propios de un observable de von Neumann forman una base ortonormal para el espacio de Hilbert, y cada resultado posible de esa medición corresponde a uno de los vectores que componen la base. Un operador de densidad es un operador positivo-semidefinido en el espacio de Hilbert cuya traza es igual a 1. Para cada medida que pueda definirse, la distribución de probabilidad sobre los resultados de esa medida puede calcularse a partir del operador de densidad. El procedimiento para hacerlo es la regla de Born, que establece que:

Donde es el operador de densidad, y es el operador de proyección sobre el vector base correspondiente al resultado de la medición . La media de los valores propios de un observable de von Neumann, ponderada por las probabilidades de la regla de Born, es el valor de expectativa de ese observable. Para un observable , el valor de expectativa dado un estado cuántico es :

Un operador de densidad que es una proyección de rango 1 se conoce como estado cuántico puro, y todos los estados cuánticos que no son puros se denominan mixtos. Los estados puros también se conocen como funciones de onda. Asignar un estado puro a un sistema cuántico implica certeza sobre el resultado de alguna medida en ese sistema (es decir, para un resultado ). Cualquier estado mixto puede escribirse como una combinación convexa de estados puros, aunque no de forma única. El espacio de estados de un sistema cuántico es el conjunto de todos los estados, puros y mixtos, que se le pueden asignar.

La regla de Born asocia una probabilidad a cada vector unitario del espacio de Hilbert, de forma que estas probabilidades suman 1 para cualquier conjunto de vectores unitarios que comprenda una base ortonormal. Además, la probabilidad asociada a un vector unitario es una función del operador de densidad y del vector unitario, y no de información adicional como la elección de la base en la que se inserta dicho vector. El teorema de Gleason establece lo contrario: todas las asignaciones de probabilidades a vectores unitarios (o, equivalentemente, a los operadores que se proyectan sobre ellos) que satisfacen estas condiciones adoptan la forma de aplicar la regla de Born a algún operador de densidad.

Medición generalizada (POVM)

En análisis funcional y teoría de la medida cuántica, una medida con valor de operador positivo (POVM) es una medida cuyos valores son operadores semidefinidos positivos en un espacio de Hilbert. Las POVM son una generalización de las medidas valoradas por proyección (PVM) y, en consecuencia, las medidas cuánticas descritas por POVM son una generalización de las medidas cuánticas descritas por PVM. Por analogía, una POVM es a una PVM lo que un estado mixto es a un estado puro. Los estados mixtos son necesarios para especificar el estado de un subsistema de un sistema mayor (véase el teorema de Schrödinger-HJW); análogamente, los POVM son necesarios para describir el efecto en un subsistema de una medida proyectiva realizada en un sistema mayor. Las POVM son el tipo más general de medida en mecánica cuántica, y también pueden utilizarse en teoría cuántica de campos. Se utilizan ampliamente en el campo de la información cuántica.

En el caso más sencillo, de una POVM con un número finito de elementos que actúan sobre un espacio de Hilbert de dimensión finita, una POVM es un conjunto de matrices semidefinidas positivas en un espacio de Hilbert y suman la matriz identidad,

En mecánica cuántica, el elemento POVM se asocia con el resultado de la medición , tal que la probabilidad de obtenerla al realizar una medida sobre el estado cuántico viene dado por:

, Donde es el operador de traza. Cuando el estado cuántico que se mide es un estado puro esta fórmula se reduce a:

.

Cambio de estado debido a la medición Una medida sobre un sistema cuántico generalmente producirá un cambio del estado cuántico de ese sistema. Escribir un POVM no proporciona la información completa necesaria para describir este proceso de cambio de estado. Para remediarlo, se especifica más información descomponiendo cada elemento POVM en un producto:

Los operadores Kraus , en honor a Karl Kraus, proporcionan una especificación del proceso de cambio de estado. No son necesariamente autoadjuntos, pero los productos lo son. Si al realizar la medición el resultado se obtiene, entonces el estado inicial se actualiza a:

Un caso especial importante es la regla de Lüders, llamada así por Gerhart Lüders. Si el POVM es a su vez un PVM, entonces los operadores de Kraus pueden tomarse como los proyectores sobre los eigenspaces del observable de von Neumann:

Si el estado inicial es puro, y los proyectores tienen rango 1, pueden escribirse como proyectores sobre los vectores y , respectivamente. La fórmula se simplifica así:

Esto se ha conocido históricamente como "reducción del paquete de ondas" o "colapso de la función de onda". El estado puro de implica una predicción de probabilidad uno para cualquier observable von Neumann que tenga como un vector propio. Los textos introductorios a la teoría cuántica suelen expresarlo diciendo que si una medición cuántica se repite en rápida sucesión, se producirá el mismo resultado las dos veces. Esto es una simplificación excesiva, ya que la implementación física de una medición cuántica puede implicar un proceso como la absorción de un fotón; después de la medición, el fotón no existe para ser medido de nuevo.

Podemos definir un mapa lineal, preservador de trazas, completamente positivo, sumando sobre todos los posibles estados post-medida de un POVM sin la normalización:

Es un ejemplo de canal cuántico,:150 y puede interpretarse como la expresión de cómo cambia un estado cuántico si se realiza una medición pero se pierde el resultado de la misma.:159

Ejemplos miniaturadeimagen|Representación de los estados en la esfera de Bloch (en azul) y POVM óptimo (en rojo) para la discriminación de estados cuánticos sin ambigüedad en los estados y . Obsérvese que en la esfera de Bloch los estados ortogonales son antiparalelos. El ejemplo prototípico de un espacio de Hilbert finito es un qubit, un sistema cuántico cuyo espacio de Hilbert es bidimensional. Un estado puro para un qubit puede escribirse como una combinación lineal de dos estados base ortogonales y con coeficientes complejos:

Una medida en la base de dará un resultado con la probabilidad y resultado con probabilidad , así que por normalización,

Un estado arbitrario para un qubit puede escribirse como una combinación lineal de las matrices de Pauli, que proporcionan una base para matrices autoadjuntas

Donde los números reales son las coordenadas de un punto dentro de la bola unitaria y

Los elementos POVM pueden representarse del mismo modo, aunque la traza de un elemento POVM no es fija e igual a 1. Las matrices de Pauli no tienen traza y son ortogonales entre sí con respecto al producto interior de Hilbert-Schmidt, por lo que las coordenadas del estado son los valores de las expectativas de las tres medidas de von Neumann definidas por las matrices de Pauli.:126 Si se aplica una medida de este tipo a un qubit, entonces, por la regla de Lüders, el estado se actualizará al vector propio de esa matriz de Pauli correspondiente al resultado de la medida. Los vectores propios de son los estados base y , y una medición de suele llamarse medida en la "base computacional".:76 Tras una medición en la base de cálculo, el resultado de una medición o tiene una incertidumbre máxima.

Un par de qubits juntos forman un sistema cuyo espacio de Hilbert es de 4 dimensiones. Una medida de von Neumann significativa en este sistema es la definida por la base de Bell, un conjunto de cuatro estados cuánticos máximamente entrelazados: