En física y matemáticas, un vector axial o seudovector (también escrito como pseudovector) es una magnitud que se comporta como un vector en muchas situaciones, pero su orientación no cumple alguna de las reglas de las transformaciones euclídeas (como rotaciones, traslaciones o reflexiones), o tampoco lo hace en el caso de que se cambie la orientación del espacio. Por ejemplo, el momento angular es un pseudovector porque a menudo se describe como un vector, pero con solo cambiar la posición de referencia (modificando el vector de posición), el momento angular puede invertir su sentido, lo que no se supone que suceda con los vectores verdaderos (también conocidos como vectores polares).
Un ejemplo de seudovector es la normal a un plano orientado. Teniendo en cuenta que un plano puede definirse mediante dos vectores no paralelos a y b, RP Feynman: §52-5 Polar and axial vectors, Feynman Lectures in Physics, Vol. 1 el vector es normal al plano (pero hay dos posibles normales, una a cada lado del plano, de manera que mediante la regla de la mano derecha se determinará cuál se elige), por lo que es un seudovector. Esto tiene consecuencias en los gráficos por computadora, donde debe tenerse en cuenta esta circunstancia cuando se transforman las normales a las superficies. En tres dimensiones, el rotacional de un campo vectorial polar en un punto y el producto vectorial de dos vectores polares también son seudovectores.
Varias cantidades en física se comportan como seudovectores en lugar de vectores polares, incluidos el campo magnético y la velocidad angular. En matemáticas, en tres dimensiones, los seudovectores son equivalentes a los bivectores, de donde se pueden derivar las reglas de transformación de los seudovectores. De manera más general, en álgebra geométrica de n dimensiones, los seudovectores son los elementos del álgebra con dimensión , a los que les corresponde la notación ⋀n−1Rn. El prefijo seudo se puede generalizar aún más para describir conceptos como seudoescalar o seudotensor, a los que les corresponde un cambio de signo adicional bajo rotaciones impropias en comparación con un escalar o un tensor verdaderos.
Ejemplos en física Los ejemplos de seudovectores en física incluyen el momento de una fuerza, la velocidad angular, el momento angular, el campo magnético, la vorticidad y el momento magnético.
Considérese el seudovector del momento angular . Conduciendo en un automóvil y mirando hacia adelante, cada una de las ruedas tiene un vector de momento angular que apunta hacia la izquierda. Si se refleja en un espejo que cambia el lado izquierdo y el lado derecho del automóvil, el reflejo de este vector de momento angular (visto como un vector ordinario) apunta hacia la derecha, pero el ángulo real del vector de impulso de la rueda (que todavía gira hacia adelante en el reflejo) sigue apuntando hacia la izquierda, según corresponde al signo adicional del giro en el reflejo de un seudovector.
La distinción entre vectores polares (o vectores verdaderos) y seudovectores adquiere importancia para comprender el efecto de la simetría en el análisis de sistemas físicos. Considérese un bucle de corriente eléctrica en el plano , que en su interior genera un campo magnético orientado en la dirección z. Este sistema es simétrico (invariante) con respecto a reflexiones especulares a través del plano dado, sin que el sentido del campo magnético se vea afectado por la reflexión. Pero se esperaría que al reflejar a través del plano dado el campo magnético como un vector este quedaría invertido, circunstancia que se corrige al darse cuenta de que el campo magnético es un seudovector, al que un cambio de signo adicional permite mantener con el sentido correcto.
En física, los pseudovectores son generalmente el resultado de tomar el producto vectorial de dos vectores polares o el curl de un campo de vector polar. El producto cruzado y el rizo se definen, por convención, según la regla de la mano derecha, pero podrían haberse definido con la misma facilidad en términos de la regla de la mano izquierda. Todo el cuerpo de física que trata con pseudovectores (diestros) y la regla de la mano derecha podría reemplazarse mediante el uso de pseudovectores (zurdos) y la regla de la mano izquierda sin problemas. Los pseudovectores (izquierdos) así definidos tendrían dirección opuesta a los definidos por la regla de la mano derecha.
Si bien las relaciones vectoriales en física se pueden expresar sin coordenadas, se requiere un sistema de coordenadas para expresar vectores y pseudovectores como cantidades numéricas. Los vectores se representan como tripletes ordenados de números, como por ejemplo y los seudovectores también se representan de esta forma. Al transformar entre sistemas de coordenadas de la mano izquierda y de la derecha, las representaciones de seudovectores no se transforman como vectores, y tratarlas como representaciones vectoriales provocará un cambio de signo incorrecto, por lo que se debe tener cuidado de realizar un seguimiento de qué tripletes ordenados representan vectores, y cuales representan seudovectores. Este problema no existe si el producto cruzado de dos vectores se reemplaza por el producto exterior de los dos vectores, lo que produce un bivector que es un tensor de segundo rango y está representado por una matriz de 3×3. Esta representación mediante un 2-tensor se transforma correctamente entre dos sistemas de coordenadas cualesquiera, independientemente de su lateralidad.
Detalles
La definición de "vector" en física (incluidos tanto los vectores polares como los seudovectores) es más específica que la definición matemática de "vector" (es decir, cualquier elemento de un espacio vectorial abstracto). Según la definición en física, se requiere que un "vector" tenga componentes que se "transformen" de cierta manera bajo un rotación propia. En particular, si todo en el universo girara, el vector rotaría exactamente de la misma manera (Eel sistema de coordenadas está fijo en esta discusión, o en otras palabras, esta es la perspectiva de las transformaciones activas). Matemáticamente, si todo en el universo sufre una rotación descrita por una matriz de rotación R, de modo que un vector de desplazamiento x se transforma en , entonces cualquier "vector" v debe transformarse de manera similar en . Este importante requisito es lo que distingue a un vector (que podría estar compuesto, por ejemplo, por las componentes x, y y z de la velocidad) de cualquier otro triplete de cantidades físicas (por ejemplo, la longitud, el ancho y la altura de una caja rectangular "no pueden" considerarse los tres componentes de un vector, ya que al girar la caja no se transforman propiamente estas tres componentes).
En el lenguaje de la geometría diferencial, este requisito equivale a definir un vector como un tensor contravariante de rango uno. En este marco más general, los tensores de rango superior también pueden tener arbitrariamente muchos rangos covariantes y contravariantes mixtos al mismo tiempo, indicados por superíndices y subíndices según el convenio de suma de Einstein.
Un ejemplo básico y bastante concreto es el de los vectores fila y columna bajo el habitual operador de la multiplicación de matrices. En un orden producen el producto escalar, que es simplemente un escalar y, como tal, un tensor de rango cero, mientras que en el otro orden producen el producto diádico, que es una matriz que representa un tensor mixto de rango dos, con un índice contravariante y otro covariante. Como tal, la no conmutatividad del álgebra matricial estándar se puede utilizar para realizar un seguimiento de la distinción entre vectores covariantes y contravariantes. De hecho, así es como se llevaba el seguimiento de la disposición de los índices antes de que surgiera la notación tensorial más formal y generalizada, lo que todavía se manifiesta en cómo los vectores base de los espacios tensoriales generales se muestran para su manipulación práctica.
La discusión hasta ahora solo se refiere a rotaciones propias, es decir, rotaciones alrededor de un eje. Sin embargo, también se pueden considerar rotaciones impropias, es decir, un reflejo especular posiblemente seguido de una rotación propia (un ejemplo de rotación impropia es la simetría central en el espacio tridimensional). Supóngase que todo en el universo experimenta una rotación impropia descrita por la matriz de rotación impropia R, de modo que un vector de posición x es transformado en . Si el vector v' es un vector polar, se transformará en ; y si es un seudovector, se transformará en .
Las reglas de transformación para vectores polares y seudovectores se pueden expresar de forma compacta como
donde los símbolos son los descritos anteriormente y la matriz de rotación R puede ser propia o impropia. El operador "det" indica el determinante de la matriz. Esta fórmula funciona porque el determinante de las matrices de rotación propias e impropias es respectivamente +1 y −1.
Comportamiento respecto a suma, resta y multiplicación escalar
Supóngase que v1 y v2 son seudovectores conocidos, y v3 se define como su suma, . Si el universo se transforma mediante una matriz de rotación R, entonces v3 se transforma en
Entonces v3 también es un seudovector. De manera similar, se puede demostrar que la diferencia entre dos seudovectores es un seudovector, que la suma o diferencia de dos vectores polares es un vector polar, que al multiplicar un vector polar por cualquier número real se obtiene otro vector polar, y que al multiplicar un seudovector por cualquier número real se genera otro seudovector.
Por otro lado, supóngase que se sabe que v1 es un vector polar, se sabe que v2 es un seudovector y que v3 se define como su suma, . Si el universo se transforma mediante una matriz de rotación impropia R, entonces v3 se transforma en
Por lo tanto, v3 no es un vector polar ni un seudovector (aunque sigue siendo un vector, según la definición física). Para una rotación impropia, v'3 en general ni siquiera mantiene la misma magnitud:
.
Si la magnitud de v3 describiera una cantidad física medible, esto significaría que las leyes de la física no parecerían las mismas si el universo se viera en un espejo. De hecho, esto es exactamente lo que sucede en con la interacción débil: ciertas desintegraciones radiactivas cursan a "izquierda" y a "derecha" de manera diferente, un fenómeno que puede atribuirse a la suma de un vector polar con un seudovector en la teoría subyacente (véase paridad).
Comportamiento bajo productos cruzados
]
Para una matriz de rotación R, ya sea propia o impropia, la siguiente ecuación matemática siempre es cierta: , donde 'v1 y v2 son vectores tridimensionales (esta ecuación se puede demostrar mediante un argumento geométrico o mediante un cálculo algebraico).
Supóngase que v1 y v2 son vectores polares conocidos, y v3 se define como su producto cruzado, . Si el universo se transforma mediante una matriz de rotación R, entonces v3 se transforma en
Entonces v3 es un seudovector. De manera similar, se puede demostrar que:
vector polar × vector polar = pseudovector pseudovector × pseudovector = pseudovector vector polar × pseudovector = vector polar pseudovector × vector polar = vector polar
Estas reglas son isomorfas a la suma de módulo 2, donde "polar" corresponde a 1 y "seudo" corresponde a 0.
Ejemplos