miniatura|300px|Un tensor de segundo orden, en tres dimensiones.
En matemáticas, el término cálculo tensorial (también conocido como cálculo de Ricci) hace referencia a las operaciones y algoritmos utilizados para operar con tensores.
En matemáticas y en física, un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varios componentes que generaliza los conceptos de escalar, vector y matriz de una manera que sea independiente de cualquier sistema de coordenadas elegido. Se usa para ello el convenio de suma de Einstein.
Una vez elegida una base vectorial, los componentes de un tensor en una base vendrán dadas por una multimatriz. El orden de un tensor será el número de índices necesario para especificar sin ambigüedad un componente de un tensor: un escalar será considerado como un tensor de orden 0; un vector, un tensor de orden 1; y dada una base vectorial, los tensores de segundo orden pueden ser representados por una matriz.
El cálculo tensorial describe las reglas de notación y manipulación de índices para tensores y campos tensoriales en una variedad diferenciable, con o sin tensor métrico o conexión.
Historia La palabra "tensor" se utiliza a menudo como abreviatura de campo tensorial, que es un valor tensorial definido en cada punto en una variedad. El primero en utilizar esta palabra fue William Rowan Hamilton en 1846, empleándola para lo que actualmente se conoce como módulo y fue Woldemar Voigt en 1899 quien la empleó en su acepción actual. La palabra tensor proviene del latín tensus, participio pasado de tendere 'estirar, extender'. El nombre se extendió porque la teoría de la elasticidad fue una de las primeras aplicaciones físicas donde se usaron tensores.
También es el nombre moderno de lo que solía llamarse cálculo diferencial absoluto (la base de cálculo tensorial), desarrollado por Gregorio Ricci-Curbastro entre 1887 y 1896, posteriormente popularizado en un artículo escrito con su alumno Tullio Levi-Civita en 1900. Jan Arnoldus Schouten desarrolló la notación y el formalismo modernos para este marco matemático e hizo contribuciones a la teoría durante sus aplicaciones a la relatividad general y a la geometría diferencial a principios del . La introducción de relatividad general por parte de Albert Einstein alrededor de 1915 supuso su aplicación práctica. El propio Albert Einstein había aprendido de Levi-Civita el uso de tensores.
Trabajando con uno de los principales defensores de las formas diferenciales, Élie Cartan, el influyente geómetra Shiing-Shen Chern resumió el papel del cálculo tensorial en la geometría moderna:
Características y uso Las cantidades geométricas y físicas pueden ser categorizadas considerando los grados de libertad inherentes a su descripción. Las cantidades escalares son las que se pueden representar por un solo número, por ejemplo la masa. Hay también cantidades tipo vector, por ejemplo fuerza, que requieren una lista de números para su descripción. Finalmente, las cantidades tales como formas cuadráticas requieren de una matriz para su representación.
Los tensores generalizan los conceptos de escalar, vector y matriz, que son casos particulares de tensores. La propiedad que distingue un escalar de un vector, y distingue ambos de una cantidad tensorial más general es el número de índices en la matriz de la representación. Este número se llama rango u orden de un tensor. Así, los escalares son los tensores de rango cero (sin índices), los vectores son los tensores de rango uno y las matrices son tensores de rango 2.
Uso de tensores No todas las relaciones en la naturaleza son lineales, pero la mayoría es diferenciable y así se pueden aproximar localmente con sumas de funciones multilineales. Así la mayoría de las magnitudes en física se pueden expresar como tensores.
Un ejemplo simple es la descripción de una fuerza aplicada al movimiento de una nave en el agua. La fuerza es un vector, y la nave responderá con una aceleración, que es también un vector. La aceleración en general no estará en la misma dirección que la fuerza, debido a la forma particular del cuerpo de la nave. Sin embargo, resulta que la relación entre la fuerza y la aceleración es lineal. Tal relación es descrita por un tensor del tipo (1, 1), es decir, que transforma un vector en otro vector. El tensor se puede representar como una matriz que cuando es multiplicada por un vector, dé lugar a otro vector. Así como los números que representan un vector cambiarán si uno cambia el conjunto de coordenadas, los números en la matriz que representa el tensor también cambiarán cuando se cambie el conjunto de coordenadas.
En la ingeniería, las tensiones en el interior de un sólido rígido o líquido también son descritas por un tensor. Si se selecciona un elemento superficial particular en el material, el material en un lado de la superficie aplicará una fuerza en el otro lado. En general, esta fuerza no será ortogonal a la superficie, sino que dependerá de la orientación de la superficie de una manera lineal. Esto es descrito por un tensor del tipo (2, 0), o más exactamente por un campo tensorial del tipo (2, 0) puesto que las tensiones pueden cambiar punto a punto.
Algunos ejemplos bien conocidos de tensores en geometría son las formas cuadráticas, y el tensor de curvatura. Algunos ejemplos de tensores físicos son el tensor de energía-momento, el tensor de polarización y el tensor dieléctrico.
Conceptos básicos En un sentido práctico un tensor es un objeto matemático representado por un cierto conjunto de componentes. Para definir un tensor es necesario partir de un espacio físico o variedad diferenciable que define cuál es el espacio vectorial base V sobre el que se construirán tensores de diferente tipo y orden. En mecánica clásica, por ejemplo, el espacio es , aunque en la teoría de la relatividad especial el espacio base es isomorfo a y en la teoría general de la relatividad es el espacio tangente a una variedad lorentziana de cuatro dimensiones. En matemáticas lo más usual es construir la teoría sobre una variedad riemanniana o variedad pseudoriemanniana n-dimensional.
Tratamiento clásico de los tensores El enfoque clásico visualiza los tensores como "matrices" de orden superior que son generalizaciones n-dimensionales de los escalares, vectores de 1 dimensión y matrices de 2 dimensiones. En este enfoque los números reales que aparecen en dichas "matrices" son los componentes del tensor en una base concreta. Si bien para los casos prácticos este modo de representación puede ser muy intuitivo dificulta la manipulación formal para otros fines menos prácticos.
Los "componentes" tensoriales son los índices del arreglo. Esta idea puede ser generalizada aún más a los campos tensoriales, donde los elementos del tensor son funciones, o incluso diferenciales. La teoría del campo tensorial se puede ver, grosso modo, como otra extensión de la idea del jacobiano.
Enfoque moderno El enfoque moderno visualiza los tensores inicialmente como objetos abstractos, construidos sobre espacios vectoriales abstractos, en los que se define un producto tensorial que permite construir estructuras típicas del álgebra multilineal. Sus propiedades bien conocidas se pueden derivar de sus definiciones, como funciones lineales o incluso más generales; y las reglas para las manipulaciones de tensores se presentan como extensión del álgebra lineal al álgebra multilineal.
Este tratamiento ha sustituido en gran parte el tratamiento basado en componentes para el estudio avanzado, a la manera en que el tratamiento más moderno de los vectores, libre de componentes, sustituye el tratamiento basado en componentes tradicional aunque este último se haya utilizado para proporcionar una motivación elemental para el concepto de un vector. Se podría decir que el lema es 'tensores son elementos de un cierto espacio tensorial'.
El enfoque moderno está más estrechamente asociado al tratamiento que los matemáticos han hecho del cálculo tensorial en el que las notaciones generalmente representan el objeto tensorial y secundariamente los componentes. Esto contrasta con el tratamiento clásico de los tensores en las ciencias físicas que suele representar los tensores mediante sus componentes y enfatiza mucho las propiedades asociadas a la transformación de coordenadas al pasar de un sistema de referencia a otro, o cuando se cambian las coordenadas.
Definición de tensor Hay varias maneras de definir un tensor, que resultan en enfoques equivalentes: la manera clásica, forma usual en física de definir los tensores, en términos de objetos cuyos componentes se transforman bajo cambios de coordenadas según ciertas reglas, introduciendo la idea de transformaciones covariantes o contravariantes. la manera usual de la matemática, que implica definir ciertos espacios vectoriales definidos a partir de un espacio vectorial dado, sin fijar cualesquiera conjuntos de coordenadas hasta que las bases se introduzcan por necesidad. Existen dos definiciones de este tipo: La de tensores como aplicaciones multilineales, que nos obliga a usar el dual de un espacio vectorial. La que usa una operación definida axiomáticamente llamada producto tensorial de espacios vectoriales.
Definición clásica Los físicos especialmente en tratamientos informales de los tensores, consideran que un tensor es simplemente una magnitud física multi-índice dada por un conjunto de números reales o "componentes" del tensor que se transforman de "manera adecuada". Es decir, si en un determinado sistema de referencia una magnitud tensorial está dada por un conjunto de componentes al cambiar a un sistema de referencia diferente tendrá componentes con valores numéricos diferentes siendo la relación entre los componentes de la magnitud en uno y otro sistema de referencia la siguiente:
donde en la última expresión se ha usado el convenio de sumación de Einstein y además: es la matriz del cambio de base de coordenadas es la matriz del cambio de base inverso, que es la matriz traspuesta de la anterior. Las magnitudes escalares de la física en general son tensores de orden cero, y varios de los tensores físicos importantes (tensor de inercia, tensor de tensiones, etc.) son tensores de segundo orden.
Como aplicación multilineal Dado un espacio vectorial de dimensión sobre un cuerpo , recordemos que su espacio dual es el conjunto de todas las aplicaciones lineales . El espacio dual es un espacio vectorial de la misma dimensión que . Nos referiremos normalmente a los elementos de y de como vectores y covectores, respectivamente.
Un tensor es una aplicación multilineal, es decir, una aplicación lineal en cada uno de sus argumentos, de la forma:
De este modo, un tensor asocia cada covectores y vectores , un escalar
Llamamos tipo del tensor al par .
Usando producto tensorial de espacios vectoriales En el enfoque más matemático del cálculo tensorial se considera un espacio vectorial V y se considera su espacio dual V*. Si es una base del espacio vectorial V y la correspondiente base dual de V*, se construye el espacio vectorial producto de r copias de V y s copias de V*, es decir, o producto tensorial de espacios vectoriales. Un tensor es un elemento de dicho espacio vectorial:
Las propiedades de transformación de los tensores se siguen de las propiedades de transformación de los vectores de la base de manera trivial.
Ejemplos de tensores de distinto orden A los tensores se los puede clasificar por su orden, es decir el número de componentes que requiere para ser descrito. En general, si n es la dimensión del tensor (dimensión del espacio vectorial sobre el que se construye) y r+s el orden, un tensor requiere de componentes para ser descrito.
Tensores de orden cero: escalares