La medición del arco de meridiano de Delambre y Méchain fue un levantamiento geodésico realizado por los científicos franceses Jean-Baptiste Joseph Delambre y Pierre Méchain entre 1792 y 1798 por encargo de la Academia de Ciencias de Francia, con el fin de medir una sección entre Dunkerque y Barcelona para determinar la longitud del meridiano de París. El levantamiento sirvió como base para la definición original del metro como unidad de longitud.
Este trabajo es un hito clave en la historia del metro y del sistema métrico decimal, así como en la historia de la determinación de la masa de la Tierra. De igual manera, ocupa un lugar destacado en la historia de la geodesia y especialmente en la determinación de la forma de la Tierra. La introducción del metro y del sistema métrico fue ciertamente consecuencia de las dificultades experimentadas por los geodestas del para tener en cada lugar una unidad de longitud suficientemente precisa y fiable y, en principio, fácilmente reproducible. El metro y el sistema métrico decimal son sin duda, con la Declaración de los Derechos del Hombre y del Ciudadano, uno de los legados más importantes de la Revolución francesa.
Contexto histórico
El metro y el sistema métrico decimal como hijos de la Revolución Francesa Es sabido que las leyes de la Naturaleza no dependen de la elección de unidades de medida. Por ejemplo, la atracción gravitatoria siempre disminuirá como el inverso del cuadrado de la distancia, independientemente de si la distancia se expresa en toesas o en metros. Siempre será proporcional al producto de las masas de los dos cuerpos que se atraen, ya sea que estas masas se expresen en onzas o en kilogramos. Estrictamente hablando, se podría incluso expresar una de las masas en onzas y la otra en gramos, por ejemplo. Lo que cambiará con las unidades elegidas, por lo tanto, no son las relaciones entre cantidades físicas, sino solo los valores numéricos de las constantes involucradas en estas relaciones. En el ejemplo considerado, es el valor numérico de la constante gravitatoria el que variará según el sistema de unidades adoptado. Por lo tanto, a primera vista no se puede decir que un sistema de unidades sea mejor que otro. Es el hecho de que ha demostrado ser práctico en su uso y especialmente el hecho de que ha llegado a ser aceptado por la mayoría de las naciones civilizadas lo que le da al sistema métrico su superioridad. Algunos Estados se han mostrado reacios durante mucho tiempo a aceptar este sistema de medidas, por razones de prestigio nacional o simplemente por razones de hostilidad hacia Francia. Sin embargo, desde un principio había sido concebido con la idea de ser un sistema supranacional, que no pertenecía a ninguna nación en particular sino a toda la humanidad, de acuerdo con las ideas generosas que prevalecían bajo la Francia revolucionaria. Esta es la razón por la cual el metro se definió inicialmente no como cualquier longitud materializada en un lugar determinado de un país en particular, sino como la “diez millonésima parte de un cuarto de meridiano terrestre”.Hoy en día sería más adecuado hablar de medio meridiano que de un cuarto de meridiano, ya que el meridiano es la media elipse que une el polo sur con el polo norte, mientras que en el se consideraba al meridiano como una elipse completa a través de los polos. En principio, todo el mundo tenía acceso a él, pero la unidad de medida no pertenecía a nadie en particular.
Alrededor de 1770 se terminó el trabajo de triangulación necesario para realizar la medición de un meridiano en Francia, si se exceptúa la labor de algunos operadores de Cassini que continuaron materializando la red geodésica del mapa de Francia, cuya malla de primer orden se publicó en su totalidad en 1783. La comparación de las toesas utilizadas en distintas misiones geodésicas (en Laponia, en el Perú, en El Cabo y en Francia) había demostrado que todas estas medidas eran prácticamente iguales, con márgenes de error de unas pocas centésimas de línea. La toesa de Perú fue adoptada como estándar y se convirtió en la toesa de la Academia. Es a esta toesaLa toesa de Perú o de la Academia se conservó cuidadosamente, y aún se encuentra en las colecciones del Observatorio de París, donde se puede ver. a la que las mediciones subsiguientes debían estar relacionadas. Desafortunadamente, esto no resolvió la cuestión de la unificación de las medidas, que en todo el Reino de Francia (sin mencionar otras naciones) mantuvieron ferozmente su independencia anárquica, a pesar de varios intentos de unificación. Esta situación, que resultó ser grave en sus consecuencias en varias ocasiones, ya no podía durar eternamente, pero las cosas no cambiaron hasta que la Asamblea Constituyente nombró en 1790 (un año después del inicio de la revolución francesa), a propuesta de Charles Maurice de Talleyrand (1754-1838), una comisión compuesta por los reputados científicos Jean-Charles de Borda (1733-1799), Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), Pierre-Simon Laplace (1749-1827), Gaspard Monge (1746-1818) y Nicolas de Condorcet (1743-1794). Este último presentó un informe el 19 de marzo de 1791 en el que proponía“…Proponemos pues medir inmediatamente un arco de meridiano desde Dunkerque hasta Barcelona que comprenda algo más de 9°½. A estas ventajas se suma la de tener los dos puntos extremos al nivel del mar […] y al extenderlo más allá de los Pirineos, se podrá […] evitar las incertidumbres que su efecto puede producir en las observaciones. Además, habrá que "... hacer observaciones en el grado 45°, que determinarán el número de vibraciones que un péndulo simple igual a la diez millonésima parte del meridiano, [...] se verificará mediante nuevos experimentos y cuidadosamente medir la gravedad en el vacío de un volumen de agua destilada tomada al final de la fusión del hielo […] finalmente reducir a las medidas actuales de longitud, las diversas medidas de longitud, superficie o capacidad utilizadas en el comercio y los diversos pesos que están en uso para luego poder, por simples reglas de tres, evaluarlos en nuevas medidas cuando se determinen... » una doble opción para unificar las medidas de longitud: la unidad sería la longitud de un péndulo con un semiperíodo de un segundo en la latitud 45° al nivel del mar, o bien la diez millonésima parte de la longitud de un cuarto de un meridiano terrestre. El 26 de marzo de 1791, la Asamblea Constituyente adoptó este informe y el Rey Luis XVI de Francia, todavía en representación del poder ejecutivo en este momento, encargó a la Academia el nombramiento de comisionados para su ejecución. El astrónomo Cassini IV, el matemático Legendre y el astrónomo Méchain fueron los encargados de medir el meridiano. Los dos primeros pronto se retiraron y fueron reemplazados por el joven astrónomo Jean-Baptiste Joseph Delambre.
Trabajo teórico preliminar: trigonometría esferoidal Antes de describir brevemente este nuevo meridiano de París, también llamado “Meridiano de Delambre y Méchain”, conviene recordar que durante los veinte o treinta años anteriores a la revolución francesa, la geodesia había puesto a prueba la sagacidad de destacados científicos, como Euler, Monge o Laplace en relación con una serie de temas de estudio: la fuerza de atracción gravitatoria en un elipsoide, la teoría del equilibrio de cuerpos en rotación, y la teoría general de superficies. Las soluciones a estos problemas teóricos demostraron ser de gran interés para tratar aplicaciones geodésicas de carácter práctico. Así, Euler en 1760 y luego Monge en 1771 definieron los elementos fundamentales de la geometría de las superficies, rama que se convertiría en la geometría diferencial, que incluyó la definición de elementos como la curvatura, las líneas dibujadas sobre superficies, las líneas geodésicas y las líneas de curvatura. MeusnierJean Baptiste Marie Charles Meusnier (1754-1793) publicó en 1776 su fórmula para la curvatura de la sección plana de una superficie. El teorema de Meusnier muestra que los círculos de curvatura de todas las curvas inscritas en una superficie en un punto de un espacio euclidiano real tridimensional, y que tienen allí la misma tangente, están sobre una esfera. formuló en 1776 un teorema que jugaría un papel importante en la geometría diferencial. En 1773, Laplace, entonces de 24 años, alumno y protegido de D'Alembert, publicó sus primeras memorias de mecánica celeste, en las que se ocupó de la estabilidad de los ejes principales de las órbitas planetarias.
En 1785, se presentó una memoria a la Academia en la que Legendre introdujo la noción de potencial, idea que asignaba expresamente a Laplace, fundando la teoría de funciones esféricas, una herramienta matemática esencial en la geodesia teórica. En este mismo año de 1785 también se publicó una memoria de Laplace titulada Teoría de las atracciones de los esferoides y la forma de los planetas a la que siguió en 1786 una Memoria sobre la forma de la Tierra. Laplace combinó en esta obra varias mediciones de arcos de meridiano para obtener un achatamiento de la Tierra de 1/250, mientras que por el método gravimétrico, de acuerdo con el teorema de Clairaut, se obtenía un resultado de tan solo 1/321. Todavía en 1785, el astrónomo Lalande (1732-1807) había obtenido por la misma teoría de Clairaut un aplanamiento de 1/302. Dos años más tarde, en 1787, Legendre publicó su Memoria sobre operaciones trigonométricas, cuyos resultados dependen de la forma de la Tierra, donde enuncia en particular, sin demostrarlo, un teorema que se ha hecho famoso y que lleva su nombre.Legendre se expresa así: “Teorema de los triángulos esféricos, cuyos lados son muy pequeños en comparación con el radio de la esfera. Si se supone que la suma de los tres ángulos de un triángulo esférico infinitamente pequeño es 180d+ω, y de cada ángulo se resta ⅓ω, de modo que la suma de los ángulos restantes sea precisamente 180d, los senos de estos ángulos estarán entre ellos como los lados opuestos; de modo que el triángulo, con los ángulos así disminuidos, puede considerarse y resolverse como si fuera perfectamente rectilíneo.» En este documento se estudiaban las fórmulas necesarias para la reducción y el cálculo de los triángulos en la superficie de un esferoide, situando sobre bases sólidas la trigonometría esferoidal. Esta última constituye una generalización de la trigonometría esférica, una extensión cuya necesidad ya se había sentido con el trabajo del meridiano de Jean Dominique y de Jacques Cassini, pero que no había sido tratada de manera del todo satisfactoria en los trabajos teóricos de Clairaut (que databan de 1733 y 1739), de Euler (que databan de 1744) y de Achille Pierre Dionis du Séjour (que databan de 1778). Las fórmulas de Legendre se aplicaron a los triángulos formados entre Dunkerque y Greenwich al extender el meridiano de Delambre y Méchain hacia Inglaterra. Hay una demostración del "teorema de Legendre" y las fórmulas para resolver uno de los problemas inversos, en el caso particular en que uno de los lados del triángulo esferoidal es muy pequeño en comparación con los demás, en un trabajo de Delambre publicado en 1799 y titulado Métodos analíticos para la determinación de un arco del Meridiano en París. Este libro contiene al principio (páginas 1-16) un breve artículo de Legendre en el que explica el "Método para determinar la longitud exacta del cuarto de meridiano". Sin embargo, Legendre aún no demuestra el teorema que lleva su nombre, sino que deja esta tarea (para el caso particular citado) a Delambre. De hecho, es en la obra en cuestión donde figura el primer texto que aporta la teoría completa de la trigonometría esferoidal aplicada al cálculo de la línea meridiana y la excentricidad del elipsoide terrestre.