En matemáticas, el producto exterior de vectores (o producto de cuña, por el símbolo utilizado para denotarlo) es una construcción algebraica utilizada en geometría para estudiar áreas, volúmenes y sus análogos de dimensiones superiores. El producto exterior de dos vectores y , denotado por , se llama bivector y pertenece a un espacio llamado cuadrado exterior, un espacio vectorial que es distinto del espacio original de los vectores. La magnitudEstrictamente hablando, la magnitud depende de alguna estructura adicional, es decir, de que los vectores estén en un espacio euclídeo. En general, no se asume que esta estructura sea necesaria, excepto cuando sea útil para desarrollar la intuición sobre el tema. de se puede interpretar como el área del paralelogramo con lados y , que también se puede calcular mediante el determinante de la matriz formada con ambos vectores, o en tres dimensiones a través del producto vectorial de ambos. De manera más general, todas las superficies planas paralelas con la misma orientación y área tienen el mismo bivector como medida de su área orientada. Al igual que el producto cruzado, el producto exterior es anticonmutativo, lo que significa que para todos los vectores y , pero, a diferencia del producto cruzado, el producto exterior es asociativo.
Cuando se considera de esta manera, el producto exterior de dos vectores se denomina de 2-hojas. De manera más general, el producto exterior de cualquier número k de vectores se puede definir como una k-hoja. Pertenece a un espacio conocido como la k-ésima potencia exterior. La magnitud de la k-hoja resultante es el volumen de la dimensión k de un paralelotopo cuyas aristas son los vectores dados, así como la magnitud del producto mixto de los vectores en tres dimensiones da el volumen del paralelepípedo generado por esos vectores.
El álgebra exterior o álgebra de Grassmann, denominada así en referencia a Hermann Grassmann, las introdujo como álgebras "extendidas" (cf.) usó la palabra äußere (traducida literalmente como exterior) solo para indicar el produkt que definió, que hoy en día se llama convencionalmente producto exterior, probablemente para distinguirlo del producto externo como se define en álgebra lineal moderna. es el sistema algebraico cuyo producto es el producto exterior. El álgebra exterior proporciona un entorno algebraico en el que manejar cuestiones geométricas. Por ejemplo, las hojas tienen una interpretación geométrica concreta y los objetos en el álgebra exterior pueden manipularse de acuerdo con un conjunto de reglas inequívocas. El álgebra exterior contiene objetos que no son solo k-hojas, sino sumas de k-hojas; tal suma se llama k-vector.El término k-vector no es equivalente ni debe confundirse con términos similares como cuadrivector, que en un contexto diferente podría significar un vector de 4 dimensiones. Una minoría de autores utiliza el término k-multivector en lugar de k-vector, lo que evita esta confusión. Las k-hojas, debido a que son productos simples de vectores, se denominan elementos simples del álgebra. El rango de cualquier vector k se define como el número más pequeño de elementos simples de los que es una suma. El producto exterior se extiende al álgebra exterior completa, por lo que tiene sentido multiplicar dos elementos cualesquiera del álgebra. Equipada con este producto, el álgebra exterior es un álgebra asociativa, lo que significa que para cualquier elemento . Los k vectores tienen grado k, lo que significa que son sumas de productos de k vectores. Cuando se multiplican elementos de diferentes grados, los grados se suman como en una multiplicación de polinomios. Esto significa que el álgebra exterior es un álgebra graduada.
La definición del álgebra exterior tiene sentido para espacios no solo de vectores geométricos, sino de otros objetos similares a vectores como campos vectoriales o funciones. En general, el álgebra exterior se puede definir para módulos sobre un anillo conmutativo, y para otras estructuras de interés en álgebra abstracta. Es una de estas construcciones más generales donde el álgebra exterior encuentra una de sus aplicaciones más importantes, donde aparece como el álgebra de formas diferenciales que es fundamental en áreas que usan la geometría diferencial. El álgebra exterior también tiene muchas propiedades algebraicas que la convierten en una herramienta conveniente en el álgebra misma. La asociación del álgebra exterior a un espacio vectorial es un tipo de funtor en espacios vectoriales, lo que significa que es compatible de cierta manera con la aplicación lineal de espacios vectoriales. El álgebra exterior es un ejemplo de biálgebra, lo que significa que su espacio dual también posee un producto, y este producto dual es compatible con el producto exterior. Este álgebra dual es precisamente el álgebra de formas multilineales, y el emparejamiento entre el álgebra exterior y su dual viene dado por el producto interno.
Ejemplos
Áreas en el plano thumb|right|El área de un paralelogramo en términos del determinante de la matriz de coordenadas de dos de sus vértices
El sistema de coordenadas cartesianas R2 es un espacio vectorial real equipado con una base que consta de un par de vectores unitarios
Ahora, se supone que
son un par de vectores dados en R2, escritos en componentes. Hay un paralelogramo único que tiene v y w como dos de sus lados. El área de este paralelogramo viene dada por la fórmula estándar del determinante:
Considérese ahora el producto exterior de v y w:
donde el primer paso usa la ley distributiva para el producto exterior, y el último usa el hecho de que el producto exterior es alterno, y en particular . El hecho de que el producto exterior sea alterno también fuerza a que . Nótese que el coeficiente en esta última expresión es precisamente el determinante de la matriz . El hecho de que el resultado pueda ser positivo o negativo tiene el significado intuitivo de que v y w pueden estar orientados en sentido contrario a las agujas del reloj o en sentido horario como los vértices del paralelogramo que definen. Tal área se llama "área con signo" del paralelogramo: el valor absoluto del área con signo es el área ordinaria y el signo determina su orientación.
El hecho de que este coeficiente sea el área con signo no es algo accidental. De hecho, es relativamente fácil ver que el producto exterior debería estar relacionado con el área con signo si se intenta axiomatizar esta área como una construcción algebraica. En detalle, si denota el área con signo del paralelogramo del cual el par de vectores v y 'w' forman dos lados adyacentes, entonces A debe satisfacer las siguientes propiedades: para cualquier número real r y s, ya que al cambiar la escala de cualquiera de los lados se cambia la escala del área en la misma cantidad (y al invertir la dirección de uno de los lados se invierte la orientación del paralelogramo). , ya que el área del paralelogramo degenerado determinada por v (es decir, un segmento) es cero. , ya que intercambiar los papeles de v y w invierte la orientación del paralelogramo. para cualquier número real r, ya que sumar un múltiplo de w a v no afecta ni a la base ni a la altura del paralelogramo y por lo tanto preserva su área. , ya que el área del cuadrado unitario es uno.
250px|thumb|El producto cruzado (el vector azul) en relación con el producto exterior (el paralelogramo azul claro). La longitud del producto cruzado es la longitud del vector unitario paralelo (rojo) como el tamaño del producto exterior es el tamaño del paralelogramo de referencia (rojo claro)
Con la excepción de la última propiedad, el producto exterior de dos vectores satisface las mismas propiedades que el área. En cierto sentido, el producto exterior generaliza la propiedad final al permitir comparar el área de un paralelogramo con la de cualquier paralelogramo elegido en un plano paralelo (aquí, el que tiene lados 'e' 1 y 'e' 2). En otras palabras, el producto exterior proporciona una formulación de área independiente de la base.Esta axiomatización de áreas se debe a Leopold Kronecker y Karl Weierstraß; véase . Para un tratamiento moderno, consúltese . Para un tratamiento elemental, consúltese .
Productos cruzados y triples Para los vectores en un espacio vectorial 3-dimensional orientado con un producto escalar bilineal, el álgebra exterior está estrechamente relacionada con el producto vectorial y el producto mixto. Usando una base canónica , el producto exterior de un par de vectores
y
es
donde es una base para el espacio tridimensional Λ2 (R3). Los coeficientes anteriores son los mismos que los de la definición habitual del producto vectorial de vectores en tres dimensiones con una orientación dada, siendo la única diferencia que el producto exterior no es un vector ordinario, sino un 2-vector, y que el producto exterior no depende de la elección de la orientación.
Añadiendo un tercer vector
el producto exterior de tres vectores es
donde es el vector base para el espacio unidimensional Λ3 (R3). El coeficiente escalar es el producto mixto de los tres vectores.
El producto cruzado y el producto triple en un espacio vectorial euclídeo tridimensional admiten cada uno interpretaciones geométricas y algebraicas. El producto cruzado se puede interpretar como un vector que es perpendicular tanto a u como a v y cuya magnitud es igual al área del paralelogramo determinada por los dos vectores. También se puede interpretar como el vector formado por el menor de la matriz con las columnas u y v. El producto triple de u, v y w es un escalar con signo que representa un volumen con orientación geométrica. Algebraicamente, es el determinante de la matriz con columnas u, v y w. El producto exterior en tres dimensiones permite interpretaciones similares: también se puede identificar con longitudes orientadas, áreas, volúmenes, etc., que están atravesados por uno, dos o más vectores. El producto exterior generaliza estas nociones geométricas a todos los espacios vectoriales y a cualquier número de dimensiones, incluso en ausencia de un producto escalar.
Definiciones formales y propiedades algebraicas El álgebra exterior de un espacio vectorial sobre un cuerpo se define como el álgebra cociente del álgebra tensorial por el ideal generado por todos los elementos de la forma para (es decir, todos los tensores que se pueden expresar como el producto tensorial de un vector en por sí mismo). El ideal I contiene el ideal J generado por elementos de la forma y estos ideales coinciden si (y solo si) , donde denota la característica del cuerpo .
Se define
El producto exterior de dos elementos de es el producto inducido por el producto tensorial de . Es decir, si
es la suprayección canónica, y y están en , entonces hay y en de modo que y y
De la definición de un álgebra cociente resulta que el valor de no depende de una elección particular de y .
Como , y , las inclusiones de y en inducen inyecciones de y en . Estas inyecciones se consideran comúnmente como inclusiones y se denominan incrustaciones naturales, inyecciones naturales o inclusiones naturales. La palabra canónico también se usa comúnmente en lugar de natural.
Producto alterno El producto exterior es por construcción alterno sobre elementos de , lo que significa que para todo , por la construcción anterior. De ello se deduce que el producto también es anticonmutativo en elementos de , por suponer que ,
y por lo tanto
De manera más general, si σ es una permutación de los enteros , y x1, x2, ..., xk elementos de V, resulta que
donde sgn(σ) es la signatura de la permutación σ.Una prueba de esta afirmación se puede encontrar con más generalidad en .
En particular, si xi = xj para algunos , entonces la siguiente generalización de la propiedad alterna también es válida:
Potenciación exterior
La k-ésima potencia exterior de V, denotada como Λk(V), es el subespacio vectorial de Λ(V) abarcado por elementos de la forma