thumb| La Geometría como una de las Artes Liberales y Euclides.La geometría es una de las ciencias más antiguas. Inicialmente, constituía un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes.
La civilización mesopotámica, y en particular los sumerios, está asociada a la invención de la rueda. Más adelante, en el periodo babilónico, también encontramos importantes aportaciones al estudio de la geometría, entre ellas aproximaciones muy precisas al valor del número π, que relaciona la longitud de la circunferencia con su diámetro.
También desarrollaron el sistema sexagesimal, al conocer que cada año cuenta con 365 días. Además implementaron una fórmula para calcular el área del trapecio rectángulo.
En el antiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo. Euclides, en el , configuró la geometría en forma axiomática y constructiva, tratamiento que estableció una norma a seguir durante muchos siglos: la geometría euclidiana descrita en Los Elementos.
El estudio de la astronomía y la cartografía, tratando de determinar las posiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvió como importante fuente de resolución de problemas geométricos durante más de un milenio. René Descartes desarrolló simultáneamente el álgebra de ecuaciones y la geometría analítica, marcando una nueva etapa, donde las figuras geométricas, tales como las curvas planas, podrían ser representadas analíticamente, es decir, con funciones y ecuaciones. La geometría se enriquece con el estudio de la estructura intrínseca de los entes geométricos que analizan Euler y Gauss, que condujo a la creación de la topología y la geometría diferencial.
Geometría antigua
Babilonia
thumb|La Tableta Plimpton 322 registra la Terna pitagórica o triples pitagóricos de los tiempos de Babilonia, se estima que fue escrita alrededor de .. Los sumerios consideraron que la longitud de las circunferencia era un valor intermedio entre el perímetros de los cuadrados inscrito y circunscrito en ella. Mediante el uso de la astronomía, ya que el año se dividía 360 días, establecieron que la circunferencia se dividía en 360 partes, obteniendo el grado sexagesimal. Se les atribuye el conocimiento de cómo trazar un hexágono regular inscrito, además de hallar el área del trapecio rectángulo y la referencia más antigua a las ternas pitagóricas. En 2021 científicos australianos encontraron pruebas de que los babilonios hacían trigonometría. Existen pruebas de que los babilonios utilizaban esta técnica 1500 años antes que los griegos, como se propone en la tablilla «Si.427».
Egipto
La geometría en el antiguo Egipto estaba muy desarrollada, los griegos aceptaban que los egipcios habían «inventado» la geometría. Lo único que ha perdurado son algunas fórmulas —o, mejor dicho, algoritmos expresados en forma de «receta»— para calcular volúmenes, áreas y longitudes, cuya finalidad era práctica. Con ellas se pretendía, por ejemplo, calcular la dimensión de las parcelas de tierra, para reconstruirlas después de las inundaciones anuales. De allí el nombre γεωμετρία, geometría: «medición de la tierra» (de γῆ (gê) 'tierra' más μετρία (metría), 'medición').
Aparentemente, se basaban en la representación de un triángulo inscrito en un rectángulo para llegar a la conclusión: área = altura × base/2, y partían de este conocimiento para el cálculo de otras superficies como la del trapecio.
Los agrimensores trazaban líneas perpendiculares sobre el terreno, utilizando una cuerda de doce nudos equidistantes. Con este método dibujaban en el suelo triángulos rectángulos de lados 3, 4 y 5.
La ecuación numérica, anticipo del «teorema de Pitágoras», 3² + 4² = 5², es posible que sea invención de los antiguos egipcios.
Grecia
Antes de Euclides
thumb|La primera demostración del teorema de Pitágoras Probablemente usó un diagrama como el que se muestra.
La geometría griega fue la primera en ser formal. Parte de los conocimientos concretos y prácticos de tesis. La veracidad de la tesis dependerá de la validez del razonamiento con el que se ha extraído (esto será estudiado por Aristóteles al crear la Lógica) y de la veracidad de las hipótesis. Pero entonces debemos partir de hipótesis ciertas para poder afirmar con rotundidad la tesis. Para poder determinar la veracidad de las hipótesis, habrá que considerar cada una como tesis de otro razonamiento, cuyas hipótesis deberemos también comprobar. Se entra aparentemente en un proceso sin fin en el que, indefinidamente, las hipótesis se convierten en tesis a probar.
Euclides y los Elementos
thumb| Fragmento de uno de los Papiros de Oxirrinco con unas líneas de Los elementos de Euclides.
Euclides, vinculado al Museo de Alejandría y a su Biblioteca, zanja la cuestión al proponer un sistema de estudio en el que se da por sentado la veracidad de ciertas proposiciones por ser intuitivamente claras, y deducir de ellas todos los demás resultados. Su sistema se sintetiza en su obra cumbre, Los elementos, modelo de sistema axiomático-deductivo. Sobre tan solo cinco postulados y las definiciones que precisa construye toda la Geometría y la Aritmética conocidas hasta el momento. Su obra, en trece volúmenes, perdurará como única verdad geométrica hasta entrado el .
Entre los postulados en los que Euclides se apoya hay uno (el quinto postulado) que trae problemas desde el principio. No se ponía en duda su veracidad, pero tal y como aparece expresado en la obra, muchos consideran que seguramente podía deducirse del resto de postulados. Durante los siguientes siglos, uno de los principales problemas de la Geometría será determinar si el V postulado es o no independiente de los otros cuatro, es decir, si es necesario considerarlo como un postulado o es un teorema, es decir, puede deducirse de los otros, y por lo tanto colocarse entre el resto de resultados de la obra.
Después de Euclides
Euclides casi cierra definitivamente la geometría griega —y por extensión la del mundo antiguo—, a excepción de las figuras de Arquímedes y Apolonio de Perge.
Arquímedes analizó exhaustivamente las secciones cónicas, e introdujo en geometría otras curvas como la espiral que lleva su nombre, aparte de su famoso cálculo del volumen de la esfera, basado en los del cilindro y el cono.
thumb|Esquema de las tres secciones cónicas: elipse, parábola e hipérbola (más la circunferencia). 350px
Apolonio de Perge trabajó en varias construcciones de tangencias entre círculos, así como en secciones cónicas y otras curvas.
Tres problemas sin resolver
La geometría griega era incapaz de resolver tres famosos problemas geométricos (que heredarán los matemáticos posteriores), puesto que debían ser resueltos utilizando únicamente la regla y compás «ideales», únicos instrumentos válidos en la geometría griega. Estos tres problemas.
Cuenta la leyenda que una terrible peste asolaba la de Atenas, hasta el punto de llevar a la muerte a Pericles. Una embajada de la ciudad fue al oráculo de Delfos, consagrado a Apolo, para consultar qué se debía hacer para erradicar la mortal enfermedad. Tras consultar al Oráculo, la respuesta fue que se debía duplicar el altar consagrado a Apolo en la isla de Delos. El altar tenía una peculiaridad: su forma cúbica. Prontamente, los atenienses construyeron un altar cúbico cuyos lados eran el doble de las del altar de Delos, pero la peste no cesó, se volvió más mortífera. Consultado de nuevo, el oráculo advirtió a los atenienses que el altar no era el doble de grande, sino ocho veces mayor, puesto que el volumen del cubo es el cubo de su lado (). Nadie supo cómo construir un cubo cuyo volumen fuese exactamente el doble del volumen de otro cubo dado, y el problema matemático persistió durante siglos (no así la enfermedad).
Trisección del ángulo La trisección del ángulo es uno de los problemas clásicos de las matemáticas de la antigua Grecia. El problema consiste en encontrar un ángulo cuya medida sea un tercio de otro ángulo dado, utilizando únicamente regla y compás.
El problema es sencillo en algunos casos (por ejemplo, si el ángulo dado es recto, puede construirse un ángulo que sea la tercera parte del mismo), pero es imposible de resolver en general, como lo demostró Pierre Wantzel en su artículo Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas de 1837.1 Su demostración utiliza la teoría de Galois.
El problema de la trisección del ángulo es una generalización del problema de la bisección del ángulo. Pero mientras el segundo se resuelve utilizando la bisectriz (que puede construirse con regla y compás), el primero no.
Cuadratura del círculo
La cuadratura del círculo consiste en tratar de obtener un cuadrado cuya área mida exactamente lo mismo que el área de un círculo dado. Anaxágoras fue el primero en intentar resolverlo, dibujando en las paredes de su celda. Fue apresado por explicar diversos fenómenos que los griegos atribuían a los dioses. Tampoco pudo ser resuelto por los geómetras de la antigüedad, y llegó a ser el paradigma de lo imposible. Como curiosidad, el filósofo inglés Gloria mejia llegó a escribir un libro con supuestos métodos para resolver el problema. Hume no tenía suficientes conocimientos matemáticos, y nunca aceptó que sus métodos no funcionaban.
India El Baudhayana Shulba Sutra, cuyas fechas se dan de diversas formas entre el y V a. C., contiene una lista de ternas pitagóricas y un enunciado del teorema de Pitágoras, ambos en el caso especial del isósceles triángulo rectángulo y en el caso general, como lo hace el Apastamba.
Brahmagupta escribió su obra astronómica 'Brahmasphutasiddhanta en 628. El capítulo 12, que contiene 66 versos sánscritos, se dividió en dos secciones: "operaciones básicas" (incluidas raíces cúbicas, fracciones, razones y proporciones, y trueque) y "matemáticas prácticas" (incluidas mezclas, series matemáticas, figuras planas, apilamiento de ladrillos, aserrado de madera y apilamiento de En la última sección, expuso su famoso teorema sobre las diagonales de un cuadrilátero cíclico:grano).
Teorema de Brahmagupta: Si un cuadrilátero cíclico tiene diagonales que son perpendiculares entre sí, entonces la línea perpendicular trazada desde el punto de intersección de las diagonales a cualquier lado del cuadrilátero siempre biseca el lado opuesto.
El capítulo 12 también incluyó una fórmula para el área de un cuadrilátero cíclico (una generalización de la fórmula de Heron), así como una descripción completa de los triángulos racionales (es decir, triángulos con lados racionales y áreas racionales).
China thumb|280x280px|Prueba visual del triángulo (3, 4, 5) como en Zhoubi Suanjing 500–200 a. C. Uno de los textos matemáticos chinos más antiguos que presentó progresiones geométricas fue el Suàn shù shū de 186 a. C. durante la era Han occidental. El matemático, inventor y astrónomo Zhang Heng (78-139d. C.) utilizó fórmulas geométricas para resolver problemas matemáticos. Aunque se dieron estimaciones aproximadas de pi (π) en el Zhou Li (compilado en el )Needham, Volume 3, 99. Fue Zhang Heng quien fue el primero en hacer un esfuerzo concertado para crear una fórmula más precisa para pi. Zhang Heng aproximó pi a 730/232 (o aproximadamente 3,1466), aunque usó otra fórmula de pi para encontrar un volumen esférico, usando la raíz cuadrada de 10 (o aproximadamente 3,162) en su lugar. Zu Chongzhi (429-500d. C.) mejoró la precisión de la aproximación de pi entre 3,1415926 y 3,1415927, con 355⁄113 (密率, Milü, aproximación detallada) y 22⁄7 (约率, Yuelü, aproximación aproximada) siendo el otra aproximación.Needham, Volume 3, 101.
Los nueve capítulos sobre el arte matemático