O décimo nono problema de Hilbert é um dos vinte e três Problemas de Hilbert, publicados em 1900 pelo matemático alemão David Hilbert, e questiona se as soluções de problemas regulares no cálculo de variações são sempre necessariamente analíticas. Informalmente, e talvez menos diretamente, dado que o conceito de Hilbert de um "problema variacional regular" identifica precisamente um problema variacional cujas equações de Euler-Lagrange são uma equação diferencial parcial elíptica com coeficientes analíticos, o décimo nono problema de Hilbert, apesar de sua afirmação aparentemente técnica, simplesmente pergunta se, nesta classe de equação em derivadas parciais, qualquer função solução herda a estrutura relativamente simples e bem entendida da equação resolvida.

O décimo nono problema de Hilbert foi resolvido de forma independente no final da década de 1950 por Ennio de Giorgi e por John Forbes Nash.

História

As origens do problema

David Hilbert, em agosto de 1900, apresentou o agora chamado de décimo nono problema de Hilbert, junto aos outros 22 problemas, em seu discurso no segundo Congresso Internacional de Matemáticos. Hilbert afirma que, em sua opinião, um dos fatos mais incríveis da teoria das funções analíticas é que existem classes de equações diferenciais parciais que admitem só esse tipo de funções como soluções, alegando a equação de Laplace, a equação de Liouville, a superfície minimal e uma classe de equações diferenciais parciais lineares estudadas por Charles Émile Picard como exemplos. Depois, observa o fato de que a maioria das equações diferenciais parciais que compartilham esta propriedade são a equação de Euler-Lagrange de um tipo de problema variacional bem definido, que apresenta as três seguintes propriedades:

Hilbert chama a este tipo de problema variacional um "problema variacional regular": a propriedade () significa que esse tipo de problemas variacionais são problemas de mínimo.

A propriedade () é a condição de elipsidade nas equações de Euler-Lagrange sócias ao funcional dado.

é uma função analítica em todos seus argumentos e .

A propriedade () é um suposto simples de regularidade da função F

Tendo identificado a classe de problemas a tratar, então propõe a seguinte pergunta: " ... paraa cada equação diferencial parcial de Lagrange de um problema de variação regular existe a propriedade de admitir integrais analíticas exclusivamente?" e questiona também se este é o caso inclusive quando se requer que a função assuma, como sucede com o problema de Dirichlet na função potencial, valores de fronteira que são contínuos, mas não analíticos.

O caminho para a solução completa Hilbert propôs seu décimo nono problema como um problema de regularidade para uma classe de equação diferencial parcial elíptica com coeficientes analíticos. Portanto, os primeiros esforços dos pesquisadores que procuraram resolvê-lo se dirigiram a estudar a regularidade das soluções clássicas das equações pertencentes a esta classe.

Para as soluções , o problema de Hilbert foi respondido pelo ucraniano Sergei Natanovich Bernstein em sua tese de 1904 Sur la nature analytique des solutions des équations aux dérivées partielles du second ordre, em que demonstrou que as soluções de  de equações analíticas elípticas não lineares em 2 variáveis são analíticas.Noronha, B. C. M.(2022). Breves considerações sobre os 23 Problemas de Hilbert. HIPÁTIA - REVISTA BRASILEIRA DE HISTÓRIA, EDUCAÇÃO E MATEMÁTICA .

O resultado de Bernstein foi melhorado nos anos por vários autores, como I. G. Petrowsky em Sur l'analyticité des solutions des systèmes d'équations différentielles de 1939, que reduziram os requisitos de diferenciação da solução necessários para demonstrar que é analítica.

Por outro lado, os métodos diretos no cálculo de variações mostraram a existência de soluções com propriedades muito fracas de derivada. Durante muitos anos teve uma brecha entre estes resultados: sabia-se que as soluções que podiam se construir tinham segundas derivadas integráveis quadráticas, que não eram o suficientemente fortes para alimentar a maquinaria que podia demonstrar que eram analíticas, já que precisavam da continuidade das primeiras derivadas. Este vazio foi enchido de forma independente por Ennio de GiorgiDe Giorgi, Ennio (1957), «Sulla differenziabilità e l'analiticità delle estremali degli integrali multipli regolari», Memorie della Accademia delle Scienze di Torino. Classe di Scienze Fisiche, Matematicahe e Naturali, Serie III (en italiano) 3: 25-43, MR 0093649, Zbl 0084.31901 e por John Forbes Nash. Ambos puderam demonstrar que as soluções tinham primeiras derivadas que eram contínuas de Hölder, o que, por resultados anteriores, implicava que as soluções são analíticas sempre que a equação diferencial tenha coeficientes analíticos, completando assim a solução do décimo nono problema de Hilbert.

Contra exemplos a várias generalizações do problema A resposta de tanto De Giorgi quanto de Nash ao décimo nono problema de Hilbert estimulou o surgimento do questionamento de que se essa mesma conclusão também era válida para as equações de Euler-Lagrange de funcional mais gerais.

No final da década de 1960, Maz'já,De GiorgiDe Giorgi, E. (1968) Un esempio di estremali discontinue per un problema variazionale di tipo ellittico. Boll. Un. Mat. Ital. (4) 1, 135–137 e Giusti e MirandaGiusti, E. e Miranda M. (1968), Un esempio di soluzioni discontinue per un problema di minimo relativo ad un integrale regolare del calcolo delle variazioni, Boll. Unione Mat. Ital. 1, 219–226. construíram vários contra exemplos de forma independente, evidenciando que, em geral, não há esperanças de provar este tipo de resultados de regularidade sem agregar mais hipótese.

Precisamente, Maz'ya forneceu diversos contra exemplos que envolvem uma equação elíptica de ordem maior do que dois com coeficientes analíticos: para os experientes, o facto de que este tipo de equações pudessem ter soluções não analíticas e inclusive não suaves causou sensação.Kristensen, Jan; Mingione, Giuseppe (October 2011), Sketches of Regularity Theory from The 20th Century and the Work of Jindřich Nečas, Oxford: Oxford Centre for Nonlinear PDE, pp. 1-30. Além disso, De Giorgi e Giusti e Miranda deram contra exemplos que mostram que, no caso de uma solução que detenha um valor vetorial em lugar de um valor escalar, não é necessário que seja analítica: o exemplo de De Giorgi consiste num sistema elíptico com coeficientes dimensionados, enquanto o de Giusti e Miranda tem coeficientes analíticos. Mais tarde, Nečas proporcionou outros exemplos mais refinados para o problema de valores vectoriais.Nečas, Jindřich (1977), Example of an irregular solution to a nonlinear elliptic system with analytic coefficients and conditions for regularity, en Kluge, Reinhard; Müller, Wolfdietrich, eds., Theory of nonlinear operators: constructive aspects. Proceedings of the fourth international summer school, held at Berlin, GDR, from September 22 to 26, 1975, Abhandlungen der Akademie der Wissenschaften der DDR 1, Berlin: Akademie-Verlag, pp. 197-206

Teorema de De Giorgi O teorema chave demonstrado por De Giorgi é uma estimativa a priori que estabelece que se é uma solução de uma equação em derivadas parciais linear de segunda ordem estritamente elíptica adequada da forma

e tem derivadas de primeira ordem integráveis quadradas, então é contínua de Hölder.

Aplicação do teorema de De Giorgi ao problema de Hilbert O problema de Hilbert pergunta se os minimizadores de de uma energia funcional como

são analíticos. Aqui, é uma função em algum conjunto compacto de Rn, é seu vetor gradiente e é o Lagrangiano, uma função das derivadas de que satisfaz determinadas condições de crescimento, suavidade e convexidade. A suavidade se pode demonstrar ao utilizar o teorema de De Giorgi como está a seguir. As equações de Euler-Lagrange para esse problema variacional são a equação não linear

e diferenciar isto com respeito a dá

Isto significa que satisfaz a equação linear

com

de modo que segundo o resultado de De Giorgi, a solução w tem primeiras derivadas contínuas de Hölder, sempre que a matriz esteja dimensionada. Quando este não é o caso, é necessário um passo a mais: deve-se demonstrar que a solução é contínua de Lipschitz, isto é, o gradiente é uma função .

Uma vez que se sabe que w tem (n+1) derivadas contínuas de Hölder para algum n≥1, então os coeficientes aij têm n derivadas contínuas de Hölder, pelo que um teorema de Schauder implica que as (n+2) derivadas também são contínuas de Hölder, e ao repetir isto infinitamente demonstra que a solução w é suave.

Teorema de Nash Nash deu uma estimativa de continuidade para as soluções da equação parabólica

onde u é uma função dimensionada de x1, ..., xn, t, definida para t≥0. Segundo sua estimativa, Nash pôde deduzir uma estimativa de continuidade para soluções da equação elíptica

considerando o caso especial no que u não depende de t.

Ver também

Problemas de Hilbert John Forbes Nash Ennio de Giorgi

Notas

Categoria:Cálculo das variações Categoria:Equações de derivadas parciais Categoria:Problemas de Hilbert