upright=1.3|miniaturadaimagem|O fato de um hospital receber mais pacientes com COVID-19 vacinados do que não vacinados pode sugerir que a vacina é ineficaz, mas tal desequilíbrio é esperado numa população altamente vacinada A falácia da taxa-base, também chamada de negligência da taxa-base ou viés da taxa-base, é um tipo de falácia em que as pessoas tendem a ignorar a taxa base (por exemplo, a prevalência geral) em favor da informação individualizadora (ou seja, informações pertencentes apenas a um caso específico). A negligência da taxa básica é uma forma específica da negligência da extensão mais geral.
É também chamada de falácia do promotor ou falácia do advogado de defesa quando aplicada aos resultados de testes estatísticos (como testes de DNA) no contexto de processos judiciais. Esses termos foram introduzidos por William C. Thompson e Edward Schumann em 1987, embora tenha sido argumentado que a definição de falácia do promotor se estende a muitas imputações inválidas adicionais de culpa ou responsabilidade que não são analisáveis como erros nas taxas base ou no teorema de Bayes.
Paradoxo do falso positivo Um exemplo da falácia da taxa base é o paradoxo do falso positivo (também conhecido como paradoxo da precisão). Este paradoxo descreve situações em que mais resultados de teste são falsos positivos do que verdadeiros positivos (isto significa que a precisão do classificador é baixa). Por exemplo, se uma câmera de reconhecimento facial consegue identificar criminosos procurados com 99% de precisão, mas analisa 10.000 pessoas por dia, a elevada precisão é superada pelo número de testes, e a lista de criminosos do programa provavelmente terá muito mais falsos positivos do que verdadeiros positivos. A probabilidade de um resultado de teste positivo é determinada não apenas pela precisão do teste, mas também pelas características da população amostrada. Quando a prevalência, a proporção de pessoas que têm uma determinada condição, é inferior à taxa de falsos positivos, até mesmo os testes que têm um risco muito baixo de dar um falso positivo num caso individual darão mais falsos positivos do que verdadeiros positivos em geral. - Citing:
É especialmente contra-intuitivo quando se interpreta um resultado positivo em um teste em uma população de baixa prevalência, depois de ter lidado com resultados positivos obtidos numa população de alta prevalência. - Citing: Se a taxa de falsos positivos do teste for superior à proporção da nova população com a doença, então um aplicador de teste cuja experiência foi obtida a partir de testes numa população de elevada prevalência pode concluir com base na experiência que um resultado de teste positivo normalmente indica um sujeito positivo, quando na verdade é muito mais provável que um falso positivo tenha ocorrido.
Exemplos
Exemplo 1: Doença
População de alta incidência Número de pessoas Infectado Não infectado Total Teste positivo 400(verdadeiro positivo) 30(falso positivo) 430 Teste negativo 0(falso negativo) 570(verdadeiro negativo) 570 Total 400 600 1000 Imagine a realização de um teste de doença infecciosa em uma população A de 1.000 pessoas, das quais 40% estão infectadas. O teste tem uma taxa de falsos positivos de 5% (0,05) e nenhuma taxa de falsos negativos. O resultado esperado dos 1000 testes na população A seria:
Infectado e o teste indica doença (verdadeiro positivo) 1000 × = 400 pessoas receberiam um verdadeiro positivo Não infectado e o teste indica doença (falso positivo) 1000 × × 0,05 = 30 pessoas receberiam um falso positivo Os 570 testes restantes são corretamente negativos.
Assim, na população A, uma pessoa que receba um teste positivo pode ter mais de 93% de confiança () de que ele indica corretamente uma infecção.
População de baixa incidência Número de pessoas Infectadas Não infectadas Total Teste positivo 20 (verdadeiro positivo) 49 (falso positivo) 69 Teste negativo 0 (falso negativo) 931 (verdadeiro negativo) 931 Total 20 980 1000 Consideremos agora o mesmo teste aplicado à população B, da qual apenas 2% estão infectados. O resultado esperado de 1000 testes na população B seria:
Infectado e o teste indica doença (verdadeiro positivo) 1000 × = 20 pessoas receberiam um verdadeiro positivo Não infectado e o teste indica doença (falso positivo) 1000 × × 0,05 = 49 pessoas receberiam um falso positivo Os 931 testes restantes são corretamente negativos.
Na população B, apenas 20 do total de 69 pessoas com resultado de teste positivo estão realmente infectadas. Portanto, a probabilidade de realmente ser infectado depois de saber que está infectado é de apenas 29% () para um teste que parece ter uma exatidão de 95%.
Um testador com experiência no grupo A pode considerar um paradoxo que, no grupo B, um resultado que normalmente indicava corretamente uma infecção agora seja geralmente um falso positivo. A confusão da probabilidade posterior de infecção com a probabilidade a priori de receber um falso positivo é um error natural depois de receber um resultado de teste que ameaça a saúde.
Exemplo 2: Motoristas bêbados
Um grupo de policiais possui bafômetros que acusam uma falsa embriaguez em 5% dos casos em que o motorista está sóbrio. Porém, os bafômetros nunca deixam de detectar uma pessoa verdadeiramente bêbada (o recall é 1). Um em cada mil motoristas dirige bêbado. Suponha que os policiais parem um motorista aleatoriamente para aplicar um teste de bafômetro. Ele indica que o motorista está bêbado. Assumindo que você não saiba mais nada sobre ele, qual é a probabilidade de ele realmente estar bêbado?
Muitos responderiam um valor tão alto quanto 95%, mas a probabilidade correta é de cerca de 2%.
A explicação para isso é a seguinte: em média, de cada 1.000 motoristas testados,
1 motorista está bêbado e é 100% certo que para esse motorista o teste resulta em um verdadeiro positivo, então há 1 resultado de teste que é um verdadeiro positivo 999 motoristas não estão bêbados e, entre esses motoristas, 5% dos testes resultam em falsos positivos, portanto, há 49,95 resultados de testes que são falsos positivos
Portanto, a probabilidade de que um motorista qualquer entre os 1 + 49,95 = 50,95 resultados positivos do teste esteja realmente bêbado é de .
A validade deste resultado depende, no entanto, da validade da suposição inicial de que o agente da polícia realmente parou o condutor ao acaso e não por causa de má condução. Se essa ou outra razão não arbitrária para parar o condutor estiver presente, então o cálculo também envolve a probabilidade de um condutor embriagado conduzir de forma competente e de um condutor não embriagado conduzir de forma (in)competente.
Mais formalmente, a mesma probabilidade de aproximadamente 0,02 pode ser obtida usando o teorema de Bayes. O objetivo é encontrar a probabilidade de o motorista estar bêbado dado que o bafômetro indicou que ele está bêbado, o que pode ser representado como
onde B significa que o bafômetro indica que o motorista está bêbado. O teorema de Bayes nos diz que
Conforme o primeiro parágrafo:
e
Como pode ser visto na fórmula, é preciso saber p(B) para usar o teorema de Bayes, e este pode ser calculado a partir dos valores anteriores usando a lei da probabilidade total:
que fornece
Colocando esses números no teorema de Bayes, descobre-se que
que é a precisão do teste.
Exemplo 3: Identificação de terroristas Considere que em uma cidade de 1 milhão de habitantes, há 100 terroristas e 999.900 não-terroristas. Para simplificar o exemplo, assume-se que todas as pessoas presentes na cidade são habitantes. Assim, a probabilidade de taxa base de um habitante da cidade selecionado aleatoriamente ser um terrorista é 0,0001, e a probabilidade de taxa base desse mesmo habitante não ser um terrorista é 0,9999. Na tentativa de capturar os terroristas, a cidade instala um sistema de alarme com câmera de vigilância e software de reconhecimento facial automático.
O software tem duas taxas de falha de 1%:
A taxa de falsos negativos: se a câmera examinar um terrorista, uma campainha tocará 99% das vezes e não tocará 1% das vezes. A taxa de falsos positivos: se a câmera examinar um não-terrorista, uma campainha não tocará 99% das vezes, mas tocará 1% das vezes.
Suponhamos agora que um habitante acione o alarme. Qual é a probabilidade de a pessoa ser um terrorista? Em outras palavras, quanto é P(T|B), a probabilidade de um terrorista ter sido detectado dado que a campainha tocou? Alguém que cometesse a “falácia da taxa base” inferiria que existe uma probabilidade de 99% de que a pessoa detectada seja um terrorista. Embora a inferência pareça fazer sentido, na verdade é um raciocínio incorreto, e um cálculo abaixo mostrará que a probabilidade de um terrorista está na verdade perto de 1%, e não perto de 99%.
A falácia surge ao confundir a natureza de duas taxas de falha diferentes. O "número de campainhas não tocadas por 100 terroristas" e o "número de não-terroristas por 100 toques de campainha" são quantidades não relacionadas. Um não é necessariamente igual ao outro, e nem precisam ser quase iguais. Para mostrar isto, considere o que aconteceria se um sistema de alarme idêntico fosse instalado numa segunda cidade sem quaisquer terroristas. Tal como na primeira cidade, o alarme soa para 1 de cada 100 habitantes não terroristas detectados, mas ao contrário da primeira cidade, o alarme nunca soa para um terrorista. Portanto, 100% de todas as ocasiões em que o alarme soa são para não-terroristas, mas uma taxa de falsos negativos nem sequer pode ser calculada. O "número de não-terroristas por 100 toques de campainha" naquela cidade é 100, mas P(T|B) = 0%. A probabilidade de um um terrorista ter sido detectado, dado que a campainha tocou, é zero.
Imagine que toda a população da primeira cidade, de um milhão de pessoas, passe na frente da câmera. Cerca de 99 dos 100 terroristas dispararão o alarme – e o mesmo acontecerá com cerca de 9.999 dos 999.900 não-terroristas. Portanto, cerca de 10.098 pessoas dispararão o alarme, entre as quais cerca de 99 serão terroristas. A probabilidade de uma pessoa que dispara o alarme ser realmente um terrorista é de apenas cerca de 99 em 10.098, o que é menos de 1% e muito, muito abaixo do nosso palpite inicial de 99%.
A falácia da taxa base é tão enganadora neste exemplo porque há muito mais não-terroristas do que terroristas, e o número de falsos positivos (não-terroristas analisados como terroristas) é muito maior do que os verdadeiros positivos (terroristas analisados como terroristas).
Vários profissionais argumentaram que, como a taxa básica de terrorismo é extremamente baixa, o uso de mineração de dados e algoritmos preditivos para identificar terroristas não pode funcionar de forma viável devido ao paradoxo dos falso positivos. As estimativas do número de falsos positivos para cada resultado preciso variam de mais de dez mil a um bilhão; conseqüentemente, investigar cada pista seria proibitivo tanto em termos de custo quanto de tempo. O nível de precisão necessário para tornar estes modelos viáveis é provavelmente inatingível. Acima de tudo, a baixa taxa base de terrorismo também significa que há falta de dados para criar um algoritmo preciso. Além disso, no contexto da detecção do terrorismo, os falsos negativos são altamente indesejáveis e, portanto, devem ser minimizados tanto quanto possível; no entanto, isto requer aumentar a sensibilidade à custa da especificidade, aumentando os falsos positivos. É também questionável se a utilização de tais modelos pelas autoridades responsáveis pela aplicação da lei cumpriria o ônus da prova exigido, uma vez que mais de 99% dos resultados seriam falsos positivos.
Exemplo 4: teste biológico de um suspeito Um crime é cometido. A análise forense determina que o criminoso tem um determinado tipo sanguíneo compartilhado por 10% da população. Um suspeito é preso e descobre-se que tem o mesmo tipo sanguíneo.