Na geometria, dado um par de hipérboles conjugadas, dois diâmetros conjugados são hiperbolicamente ortogonais. Essa relação de diâmetros foi descrita por Apolônio de Perga e foi modernizada usando a geometria analítica. Linhas hiperbolicamente ortogonais aparecem na relatividade restrita como direções temporais e espaciais que mostram a relatividade da simultaneidade.
Manter os eixos de tempo e espaço hiperbolicamente ortogonais, como no espaço de Minkowski, fornece um resultado constante quando são feitas medições da velocidade da luz.
Geometria Duas retas são hiperbolicamente ortogonais quando são reflexões uma da outra sobre a assíntota de uma determinada hipérbole. Duas hipérboles particulares são frequentemente usadas no plano:
A relação de ortogonalidade hiperbólica na verdade se aplica a classes de retas paralelas no plano, onde qualquer reta específica pode representar a classe. Assim, para uma dada hipérbole e assíntota A, um par de retas (a, b) é hiperbolicamente ortogonal se existir um par (c, d) tal que , e c é a reflexão de d através de A.
Semelhante à perpendicularidade do raio de um círculo em relação à tangente, um raio de uma hipérbole é hiperbolicamente ortogonal à tangente à hipérbole.Bjørn Felsager (2004), Through the Looking Glass – A glimpse of Euclid’s twin geometry, the Minkowski geometry , ICME-10 Copenhagen; páginas 6 e 7.
Uma forma bilinear é usada para descrever a ortogonalidade na geometria analítica, com dois elementos ortogonais quando sua forma bilinear se anula. No plano dos números complexos , a forma bilinear é , enquanto no plano dos números hiperbólicos a forma bilinear é Diz-se que os vetores z1 e z2 no plano dos números complexos, e w1 e w2 no plano dos números hiperbólicos são, respectivamente, euclidianamente ortogonais ou hiperbolicamente ortogonais se seus respectivos produtos internos [formas bilineares] forem zero.Sobczyk, G.(1995) Hyperbolic Number Plane, publicado também no College Mathematics Journal 26:268–80.
A forma bilinear pode ser computada como a parte real do produto complexo de um número pelo conjugado do outro. Então implica perpendicularidade no plano complexo, enquanto implica que os w são hiperbolicamente ortogonais.
A noção de ortogonalidade hiperbólica surgiu na geometria analítica ao considerar os diâmetros conjugados de elipses e hipérboles.Barry Spain (1957) Analytical Conics, elipse §33, página 38 e hipérbole §41, página 49, da HathiTrust Se g e g′ representam os declives dos diâmetros conjugados, então no caso de uma elipse e no caso de uma hipérbole. Quando a = b a elipse é uma circunferência e os diâmetros conjugados são perpendiculares, enquanto a hipérbole é equilátera e os diâmetros conjugados são hiperbolicamente ortogonais.
Na terminologia da geometria projetiva, a operação de tomar a reta hiperbolicamente ortogonal é uma involução. Suponha que o declive de uma reta vertical seja denotado por ∞, de modo que todas as retas tenham um declive na reta real estendida projetivamente. Então, qualquer que seja a hipérbole (A) ou (B) utilizada, a operação é um exemplo de uma involução hiperbólica onde a assíntota é invariante. Retas hiperbolicamente ortogonais situam-se em diferentes setores do plano, determinados pelas assíntotas da hipérbole, portanto, a relação de ortogonalidade hiperbólica é uma relação heterogênea em conjuntos de retas no plano.
Velocidade da luz constante
O segundo postulado da relatividade restrita é que a velocidade da luz não depende do referencial inercial no qual as medições são realizadas. Este postulado foi associado a resultados nulos no experimento de Michelson-Morley. Desde que os eixos do espaço e do tempo sejam hiperbolicamente ortogonais, a medição da velocidade da luz dará o mesmo resultado. O aparente paradoxo da invariância da velocidade da luz em relação a observadores em movimento é resolvido na relatividade restrita por esta característica do espaço de Minkowski.
Simultaneidade Desde a fundamentação de Hermann Minkowski para o estudo do espaço-tempo em 1908, o conceito de pontos em um plano espaço-tempo serem hiperbolicamente ortogonais a uma linha do tempo (tangente a uma linha de universo) tem sido usado para definir a simultaneidade de eventos relativos à linha do tempo, ou a relatividade da simultaneidade. No desenvolvimento de Minkowski, a hipérbole do tipo (B) acima está em uso.Várias traduções em inglês no Wikisource: Space and Time Dois vetores (, , , ) e (, , , ) são normais (significando hiperbolicamente ortogonais) quando
Quando = 1 e os s e s são zero, ≠ 0, ≠ 0, então .
Dada uma hipérbole com assíntota A, sua reflexão em A produz a hipérbole conjugada. Qualquer diâmetro da hipérbole original é refletido para um diâmetro conjugado. As direções indicadas pelos diâmetros conjugados são adotadas como eixos de espaço e tempo na relatividade. Como E. T. Whittaker escreveu em 1910, "[a] hipérbole permanece inalterada quando qualquer par de diâmetros conjugados é tomado como novos eixos, e uma nova unidade de comprimento é tomada proporcional ao comprimento de qualquer um desses diâmetros."E. T. Whittaker (1910) A History of the Theories of Aether and Electricity Dublin: Longmans, Green and Co. (ver página 441) Sob este princípio da relatividade, ele então escreveu a transformação de Lorentz na forma moderna usando a rapidez.
Edwin Bidwell Wilson e Gilbert N. Lewis desenvolveram o conceito dentro da geometria sintética em 1912. Eles observam que "em nosso plano, nenhum par de retas perpendiculares [hiperbolicamente ortogonais] é mais adequado para servir como eixos de coordenadas do que qualquer outro par"Edwin B. Wilson & Gilbert N. Lewis (1912) "The Space-time Manifold of Relativity. The Non-Euclidean Geometry of Mechanics and Electromagnetics" Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences 48:387–507, esp. 415
Relação com as transformações de Lorentz A ortogonalidade hiperbólica fornece uma interpretação geométrica direta para as transformações de Lorentz, que descrevem a transição entre dois referenciais inerciais em movimento relativo com velocidade v.
Enquanto uma rotação euclidiana no plano mantém os eixos ortogonais e preserva a equação de uma circunferência , uma transformação de Lorentz atua como uma rotação hiperbólica (ou boost), preservando o intervalo espaço-temporal invariante:
Representação matricial Em termos de álgebra linear, se representarmos uma posição no espaço-tempo bidimensional como um vetor , a transformação de Lorentz para um referencial em movimento ao longo do eixo x é dada pela matriz :
onde é a velocidade relativa normalizada e é o fator de Lorentz.
Preservação da ortogonalidade Considere uma base de vetores unitários: um vetor do tipo tempo e um vetor do tipo espaço . Eles são hiperbolicamente ortogonais porque seu produto interno de Minkowski é zero:
Ao aplicar a transformação de Lorentz a ambos os vetores, obtemos os novos eixos coordenados:
O produto interno de Minkowski entre os novos eixos e permanece zero:
Isso demonstra que a transformação de Lorentz preserva a ortogonalidade hiperbólica dos eixos coordenados, uma necessidade geométrica para garantir a constância da velocidade da luz para todos os observadores inerciais.
Referências
G. D. Birkhoff (1923) Relativity and Modern Physics, páginas 62,3, Harvard University Press. Francesco Catoni, Dino Boccaletti, & Roberto Cannata (2008) Mathematics of Minkowski Space, Birkhäuser Verlag, Basel. Ver página 38, Pseudo-orthogonality. Robert Goldblatt (1987) Orthogonality and Spacetime Geometry, capítulo 1: A Trip on Einstein's Train, Universitext Springer-Verlag