Em matemática, um autoproblema não linear, às vezes um problema de autovalor não linear, é uma generalização do problema de autovalor (comum) para equações que dependem não linearmente do autovalor. Especificamente, refere-se a equações da forma

em que é um vetor, e é uma função a valores matriciais do número . O número é conhecido como o autovalor (não linear), o vetor como autovetor (não linear), e como um par próprio. A matriz é singular em um autovalor .

Definição Na disciplina de álgebra linear numérica, normalmente é utilizada a seguinte definição.

Seja , e seja uma função que leva escalares em matrizes. Um escalar é chamado de autovalor, e um vetor não nulo é chamado de autovetor à direita se . Além disso, um vetor não nulo é chamado de autovetor à esquerda se , onde o sobrescrito denota a transposição hermitiana. A definição de autovalor é equivalente a , em que denota o determinante.

Geralmente exige-se que a função seja uma função holomorfa de (em algum domínio )

Em geral, poderia ser uma transformação linear, mas mais comumente é uma matriz de dimensão finita, geralmente quadrada.

Definição: O problema é considerado regular se existir algum tal que . Caso contrário, é considerado singular.

Definição: diz-se que um autovalor tem multiplicidade algébrica se é o menor inteiro tal que a -ésima derivada de em relação a em é diferente de zero. Em fórmulas, isso significa que mas para .

Definição: a multiplicidade geométrica de um autovalor é a dimensão do espaço nulo de .

Casos especiais Os exemplos a seguir são casos especiais do problema de autovalor não linear.

O problema de autovalor (usual): O problema de autovalor generalizado: O problema de autovalor quadrático: O problema de autovalor polinomial: O problema de autovalor racional: em que são funções racionais. O problema de autovalor com atraso: em que são escalares dados, conhecidos como atrasos.

Cadeias de Jordan Definição: Let um autopar. Uma tupla de vetores é chamada de cadeia de Jordan separa , em que denota a -ésima derivada de em relação a e avaliada em . Os vetores são chamados de autovetores generalizados, é chamado de comprimento da cadeia Jordan, e o comprimento máximo de uma cadeia Jordan começando com é chamado de rank de .

Teorema: Uma tupla de vetores é uma cadeia de Jordan se, e somente se, a função tem uma raiz em e a raiz é de multiplicidade pelo menos para , em que a função a valores vetoriais é definida como

Não linearidade de autovetor A não linearidade de autovetores é uma forma de não linearidade relacionada, mas diferente, que às vezes é estudada. Neste caso, a função leva vetores em matrizes, ou às vezes matrizes hermitianas em matrizes hermitianas.

Referências

Leitura complementar

Françoise Tisseur e Karl Meerbergen, "The quadratic eigenvalue problem," SIAM Review 43 (2), 235-286 (2001) (link). Gene H. Golub e Henk A. van der Vorst, "Eigenvalue computation in the 20th century," Journal of Computational and Applied Mathematics 123, 35-65 (2000). Philippe Guillaume, "Nonlinear eigenproblems," SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications 20 (3), 575–595 (1999) (link). Cedric Effenberger, "Robust solution methods fornonlinear eigenvalue problems", tese de doutorado EPFL (2013) (link) Roel Van Beeumen, "Rational Krylov methods fornonlinear eigenvalue problems", tese de doutorado KU Leuven (2015) (link) Categoria:Álgebra linear