Em análise funcional, um subespaço fechado de um espaço vetorial normado é dito complementado em se existe um subespaço fechado tal que . Uma motivação para o estudo de espaços complementados é o seguinte resultado: se é espaço de Banach e é complementado em , com complemento , então é homeomorfo a com a topologia produto.
Definição Seja um espaço vetorial e sejam e subespaços vetoriais de . Dizemos que é a soma direta (interna) de e se, para todo , existem e tais que e essa decomposição é única. Denotamos nesse caso .
Agora, se é um espaço vetorial normado e é um subespaço fechado de , é dito complementado em se existe um subespaço fechado de tal que .
Note que para todo subespaço de existe um subespaço , não necessariamente fechado, tal que (se a dimensão de for infinita, a demonstração desse fato requer o uso do axioma da escolha, por meio do lema de Zorn). Entretando, nem todo subespaço fechado de algum espaço vetorial normado é complementado.
Caracterizações equivalentes para espaços de Banach
Relação com o produto cartesiano
Se é um espaço vetorial normado e , vale sempre que a função dada por é um isomorfismo linear contínuo (com a topologia do produto em ). Entretanto, não é verdade em geral que esse isomorfismo é um homeomorfismo (isto é, que a sua inversa também é contínua).
Por outro lado, se é um espaço de Banach e , são equivalentes:
e são fechados em é um homeomorfismo
Assim, se é um espaço de Banach, o subespaço é complementado em se, e somente se, existe subespaço de tal que é homeomorfo a via .
Relação com projeções
Se é um espaço de Banach e é um subespaço fechado de , são equivalentes:
é complementado em Existe transformação linear contínua tal que e
A função é dita uma projeção sobre . Esse nome se deve à semelhança que essa transformação possui com projeções ortogonais em espaços com produto interno.
Essa caracterização se mostra muito útil para provar que um subespaço é complementado.
Exemplos e outros fatos
Se é um espaço de Banach:
Todo subespaço de dimensão finita de é complementado em . Todo subespaço de fechado e de codimensão finita (isto é, cuja dimensão do quociente é finita) é complementado em .
Alguns outros fatos sobre espaços complementados:
Todo subespaço fechado de um espaço de Hilbert é complementado nesse espaço (via projeção ortogonal).
Um espaço de Banach com a propriedade de que todo subespaço fechado é complementado é isomorfo a um espaço de Hilbert. Em particular, todo espaço de Banach que não é isomorfo a algum espaço de Hilbert possui algum subespaço fechado não-complementado. O subespaço das sequências reais convergentes a não é complementado no espaço das sequências reais limitadas (considerando a norma do supremo).
Categoria:Análise funcional