Em matemática, um espaço vetorial normado ou simplesmente espaço normado é um espaço vetorial munido de uma norma. A norma é a generalização do conceito de "tamanho" de vetor, sempre presente canonicamente no caso do espaço tridimensional .
Espaços normados são exemplos de espaços métricos e espaços normados completos são chamados de espaços de Banach. Essas estruturas encontram aplicações em diversas áreas da matemática e física, com alguns exemplos sendo equações diferenciais, teoria da medida e integração numérica.
O conceito foi proposto por Stefan Banach, Hans Hahn e Norbert Wiener, de maneira independente, em 1922.
Definição Seja um espaço vetorial real ou complexo. Uma função é uma norma se ela satisfaz as propriedades a seguir. para todo e (Positividade e não degenerescência); para todos escalares e (Homogeneidade); para todos (Desigualdade triangular).
Nesse caso, é dito ser um espaço normado. Pelas propriedades acima, é possível ver que
define uma métrica em , fazendo de todo espaço normado, em particular, um espaço métrico. Espaços normados que são completos, na métrica induzida pela norma, são chamados de espaços de Banach.
As operações de soma e produto por escalar são contínuas em qualquer espaço normado. Logo, espaços normados são casos particulares de espaços vetoriais topológicos.
Exemplos de Espaços Normados 1) O espaço vetorial munido da norma euclidiana
,
onde .
2) O espaço vetorial munido da norma-
,
onde e
3) O espaço vetorial das sequências somáveis, munido da norma
.
Métricas induzidas Se um espaço vetorial é normado, a função definida por
é uma métrica em , chamado de métrica induzida pela norma. Reciprocamente, se é um espaço vetorial e um espaço métrico, cuja métrica satisfaz
e
para todos e escalar, então existe uma norma em que induz a métrica . A dizer,
.
Operadores lineares limitados Sejam espaços normados e um operador linear. Dizemos que é limitado se existe
.
Nesse caso, definimos a norma de operador de por
.
O conjunto dos operadores limitados , geralmente denotado , é um subespaço do conjunto dos operadores lineares e a norma de operador é de fato uma norma em . Caso seja um espaço de Banach, também é um espaço de Banach. Em particular, o dual topológico de qualquer espaço normado é completo.
As seguintes afirmações a respeito do operador linear são equivalentes:
é limitado; é contínuo; é contínuo em um ponto ; é uniformemente contínuo; é Lipschitziano; ; leva conjuntos limitados (em ) em conjuntos limitados (em ).
Importante frisar que a definição de limitação como acima é diferente da vista em cursos de cálculo e na teoria de espaços métricos, onde uma função limitada é aquela cuja imagem é um subconjunto limitado do contradomínio.
Se um operador linear é bijetor e tal que
,
é dito ser um isomorfismo entre espaços normados, uma vez que ele preserva tanto a estrutura de espaço vetorial quanto a norma. Nesse caso, e são isomorfos.
Exemplos 1) Dado espaço normado, a identidade é um operador linear limitado.
2) Dado o espaço , considere as funções e dadas por
e ,
onde Tais funções são exemplos de transformações lineares limitadas.
3) O operador diferencial , dado por
constitui um exemplo de um operador linear que não é limitado.
Normas equivalentes Sejam um espaço vetorial e duas normas nele. Caso induzam a mesma topologia, as duas normas são chamadas de equivalentes.
Duas normas são equivalentes se, e somente se, existem tais que
.
Além disso, as sequências de Cauchy em e são as mesmas. Note que as desigualdades acima mostram que duas normas são equivalentes se, e só se, a identidade
é um isomorfismo entre espaços normados.
Num espaço de dimensão finita, quaisquer duas normas são equivalentes.
Exemplos de Normas Equivalentes 1) Dados , tem-se que as normas e , quando definidas em , são equivalentes. Aqui,
, onde .
2) Mais geralmente, é válido que quaisquer normas em , por se tratar de um espaço vetorial de dimensão finita.
Norma canônica de um espaço vetorial Enquanto é trivial definir uma norma num espaço vetorial de dimensão finita (todo espaço de dimensão finita é isomorfo a ou ), a construção de uma norma para o caso de um espaço vetorial de dimensão infinita não é trivial. Entretanto, sempre é possível a definição de uma norma em qualquer espaço vetorial.
Uma das consequências do lema de Zorn é que todo espaço vetorial sobre possui uma base (de Hamel) . Por definição, isso significa que todo vetor pode ser decomposto unicamente por
,
onde é finito e . Define-se então
Tal função é de fato uma norma em , chamada de norma canônica.
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