Na teoria das categorias, um topos de Grothendieck é uma categoria de feixes num sítio; a grosso modo, um feixe é uma família de conjuntos parametrizada por uma categoria pequena, satisfazendo uma propriedade de "amalgamação". Um exemplo básico de topos de Grothendieck é a categoria de feixes num espaço topológico.

Topos de Grothendieck foram originalmente investigados no contexto de co-homologia, em parte para demonstrar as conjecturas de Weil. Além das suas aplicações à geometria algébrica, na qual topos são tratados como "espaços generalizados", topos de Grothendieck (e sua generalização, topos elementares) têm aplicações à lógica; por exemplo, a demonstração por Cohen da independência da hipótese do contínuo, por meio do forçamento, pode ser formulada em termos de topos de Grothendieck. Também, topos de Grothendieck podem ser usados como "pontes" que permitem converter certos teoremas em áreas diferentes da matemática.

Pré-feixe Um pré-feixe numa categoria pequena é simplesmente um functor . Por exemplo, para cada , a imersão de Yoneda é um pré-feixe.

A categoria dos pré-feixes admite todos os limites e colimites pequenos, dados componencialmente. Também admite exponenciais; com efeito, dados pré-feixes e , se existir exponencial , deve-se ter ; por outro lado, a definição ,

realmente define exponencial na categoria de pré-feixes. (Aqui é usado que é categoria pequena.)

Um topos de Grothendieck será definido de modo que seja uma subcategoria de certos pré-feixes satisfazendo uma propriedade de "amalgamação", também possuindo limites e colimites pequenos e exponenciais.

Topologia de Grothendieck Com certa similaridade à topologia usual (num espaço topológico), uma topologia de Grothendieck especifica quais famílias de morfismos são "coberturas".

Um subfunctor de um functor é um functor tal que para cada objeto , além de que é restrição de , para cada morfismo .

Um subfunctor de é equivalentemente descrito como uma peneira em : uma peneira é uma família de morfismos de contradomínio que é um "ideal à direita", isto é, para cada objeto , dado em , para objeto e morfismo quaisquer, vale .

Dada peneira em , e dado morfismo , existe a "pré-imagem" , que é peneira dada por: se e só se .

Uma topologia de Grothendieck numa categoria é uma função , atribuindo a cada objeto uma família de peneiras em , de modo que: ("elemento maximal") a peneira consistindo de todos os morfismos de contradomínio está em ; ("estabilidade") se , então para cada morfismo ; ("transitividade") se e é peneira em tal que para cada seta em , então .

Dada topologia de Grothendieck em , diz-se que uma peneira cobre quando ; diz-se que cobre morfismo quando . Nesta linguagem, os axiomas de topologia de Grothendieck ficam: uma peneira cobre todos os seus membros; se cobre , então cobre qualquer composição ; se cobre e é peneira cobrindo todos os membros de , então também cobre .

Existem variantes do conceito de topologia de Grothendieck, como bases (ou pré-topologias) de Grothendieck.

Feixe Dado pré-feixe , dado elemento e dado morfismo , abrevia-se por .

Dada peneira em , uma família compatível (com respeito ao pré-feixe e a ) é uma atribuição de cada em a um elemento , de tal modo que

para cada em e . Uma amalgamação para essa família compatível é um elemento tal que para cada em .

Dada topologia de Grothendieck em , um pré-feixe em é dito ser: um pré-feixe separado quando, para cada , toda família compatível com respeito a admite no máximo uma amalgamação; um feixe quando, para cada , toda família compatível com respeito a admite exatamente uma amalgamação.

Denota-se por a subcategoria plena de , consistindo dos feixes.

Um topos de Grothendieck é uma categoria que é equivalente a alguma ; a dupla é dita ser um sítio (pequeno) para .

A seguir, alguns exemplos de topologias e topos de Grothendieck. A categoria dos conjuntos pequenos e mais geralmente a categoria dos feixes num espaço topológico são topos de Grothendieck. Use como a ordem dos subconjuntos abertos de . Uma peneira em é equivalentemente uma família de subconjuntos abertos de , fechada na operação de obter subconjuntos abertos; define-se como consistindo das peneiras em de união valendo . Assim, é precisamente a categoria dos feixes no espaço topológico . Seja uma subcategoria pequena de espaços topológicos. Define-se topologia de Grothendieck em , de modo que uma peneira está em se e só existe cobertura aberta de tal que cada imersão está em . Chama-se de topologia das coberturas abertas. Seja um grupo topológico. Denote por a categoria consistindo dos conjuntos , junto a ações de grupo contínuas, onde recebe topologia discreta. Então, é um topos de Grothendieck; um de seus sítios é , onde é tal que sua coleção de objetos é um sistema cofinal de subgrupos abertos de , morfismos em são funções compatíveis com ação, e é a "topologia atômica", consistindo precisamente das peneiras não vazias. Seja um anel comutativo unitário. Uma -álgebra finitamente presentada é um anel da forma , para alguns e polinômios . Denota-se por a categoria das -álgebras finitamente presentadas. Define-se topologia de Grothendieck em de modo que uma peneira em está em se e só se existem , , tais que está no ideal e cada projeção está em . (Aqui, denota , que é a maneira universal de "fazer invertível".) Chama-se de sítio de Zariski; este é estudado em geometria algébrica.

Propriedades O limite (como pré-feixes) de um diagrama de feixes (com respeito a uma topologia ) é também um feixe. Se é feixe e é pré-feixe qualquer, o exponencial de pré-feixes é também feixe.

O functor de inclusão admite adjunto esquerdo , chamado de feixificação. Este functor pode ser encontrado pela "construção ++".

Dado pré-feixe em , define-se como o conjunto de famílias compatíveis com relação a membros de , módulo a relação de equivalência se e só se existe em tal que para cada . Então, pode-se definir . (O pré-feixe é separado, mas pode não ser feixe.)

Da adjunção , é subcategoria reflexiva de ; em particular, é cocompleta, cujos colimites são dados pelas feixificações dos correspondentes colimites componenciais de pré-feixes.

O functor preserva colimites (sendo adjunto esquerdo), e também preserva limites finitos.

Um morfismo de feixes é um monomorfismo se e só se cada é função injetiva. Por outro lado, é epimorfismo se e só se é "localmente sobrejetivo", isto é, para cada , para cada , existe tal que, para cada em , o elemento está na imagem de .

Classificador de subobjetos Topos de Grothendieck admitem "classificadores de subobjetos", que generalizam funções características de subconjuntos.

Chama-se uma peneira em de fechada (com respeito a uma topologia de Grothendieck ) quando, para cada , se cobre , então . Toda peneira em admite um "fecho", a menor peneira fechada contendo . Define-se de modo que é o conjunto das peneiras fechadas em , . Então, é um feixe (com respeito a ). Existe transformação natural , dada por , a peneira incluindo todos os morfismos de contradomínio . Então, é um classificador de subobjetos no seguinte aspecto. Para cada feixe em , para cada subfeixe , existe morfismo característico , dado por . Então, se e só se . Desse modo, pode-se entender como "feixe dos valores-verdade".

Teorema de Giraud É possível definir topos de Grothendieck sem menção a topologias de Grothendieck. Antes, algumas definições.

Seja categoria admitindo limites finitos e coprodutos pequenos. Para melhor compreensão, é útil estudar as seguintes propriedades no caso .

Diz-se que admite coprodutos disjuntos quando, para cada família pequena de objetos de , com coproduto , cada é monomorfismo, e para índices distintos , o produto fibrado de e é e , onde é objeto inicial (coproduto de família vazia).

Diz-se que admite coprodutos estáveis (em pullbacks) quando, para cada família pequena de objetos de , junto a morfismos e , temos isomorfismo canônico

dado por , onde denota produto fibrado.

Uma relação de equivalência num objeto é um monomorfismo que é: "reflexivo", isto é, existe tal que ; "simétrico", isto é, existe tal que e ; "transitivo", isto é, considerando como o pullback de e (nesta ordem, de modo que , onde são as projeções do produto fibrado), existe tal que e .

Como exemplo, se é morfismo qualquer, a "dupla-núcleo" de (isto é, é produto fibrado de com , de respectivas projeções e ), é tal que é relação de equivalência.

Uma relação de equivalência é efetiva quando existe coequalizador de , e ainda mais é dupla-núcleo de . Neste caso, diz-se que o diagrama

é exato. Diz-se que esse diagrama é estavelmente exato quando, para cada morfismo , o diagrama

é também exato, isto é, é coequalizador de , que por sua vez é dupla-núcleo de .

O teorema de Giraud diz que uma categoria com homs pequenos e admitindo limites finitos é um topos de Grothendieck se e só se tem as propriedades: tem todos os coprodutos pequenos, e eles são disjuntos e estáveis; todo epimorfismo de é epimorfismo regular (isto é, coequalizador de alguma dupla de morfismos); toda relação de equivalência é uma dupla-núcleo e admite coequalizador; todo diagrama exato é estavelmente exato; existe separador pequeno para .

Dada categoria satisfazendo as hipóteses do teorema de Giraud, seja subcategoria plena de cujos objetos são os de um separador pequeno. Então, sendo inclusão, há equivalência de categorias

para topologia de Grothendieck adequada em , onde denota "produto tensorial de functores".

Bibliografia

Categoria:Teoria das categorias Categoria:Teoria dos feixes Categoria:Geometria algébrica