Em álgebra, a fórmula de Leibniz, batizada em homenagem a Gottfried Leibniz, expressa o determinante de uma matriz quadrada em termos de permutações dos elementos da matriz. Se A for uma matriz n×n, onde ai,j é a entrada na iésima ( a) linha e jésima coluna de A, a fórmula é

onde sgn é a função de sinal de permutações no grupo de permutação Sn, que retorna +1 e -1 para permutações pares e ímpares, respectivamente.

Outra notação comum usada para a fórmula é em termos do símbolo de Levi-Civita e faz uso da notação de soma de Einstein, onde se torna

o que pode ser mais familiar para os físicos.

Avaliando diretamente a fórmula de Leibniz a partir da definição requer operações em geral — isto é, várias operações assintoticamente proporcionais an fatorial - porque n! é o número de permutações de ordem n. Isso é impraticavelmente difícil para n grande. Em vez disso, o determinante pode ser avaliado em O(n3) operações formando a decomposição LU (normalmente por meio de eliminação de Gauss ou métodos semelhantes), caso em que e os determinantes das matrizes triangulares L e Usão simplesmente produtos de suas entradas diagonais. (Em aplicações práticas de álgebra linear numérica, no entanto, o cálculo explícito do determinante raramente é necessário.) Veja, por exemplo, Trefethen, Bau (1997).

Declaração formal e prova

Teorema Existe exatamente uma função

que é multilinear alternado em relação às colunas e de modo que .

Prova Singularidade: Deixe ser essa função, e deixe seja uma matriz . Chame a coluna a de , ou seja , a fim de que

Além disso, deixe denotar o vetor coluna a da matriz identidade.

Agora se escreve cada um dos (s) em termos de , ou seja

.

Como é multilinear, um tem

Da alternância, segue-se que qualquer termo com índices repetidos é zero. A soma pode, portanto, ser restrita a tuplas com índices não repetitivos, ou seja, permutações:

Como está alternando, as colunas pode ser trocado até se tornar a identidade. A função de signal é definido para contar o número de trocas necessárias e levar em conta a mudança de sinal resultante. Finalmente consegue-se:

pois deve ser igual a .

Portanto, nenhuma função além da função definida pela Fórmula de Leibniz pode ser uma função alternada multilinear com .

Existência Mostramos agora que , onde F é a função definida pela fórmula de Leibniz, possui essas três propriedades.

Multilinear:

Alternando:

Para qualquer deixe seja a tupla igual a com os índices e trocados.

Assim se então .

Finalmente, :

Assim, as únicas funções multilineares alternadas com estão restritas à função definida pela fórmula de Leibniz e, na verdade, também possuem essas três propriedades. Portanto, o determinante pode ser definido como a única função

com essas três propriedades.

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