Na matemática, um vetor tangente é um vetor que é tangente a uma curva ou superfície em um dado ponto. Vetores tangentes são descritos na geometria diferencial de curvas no contexto de curvas em Rn. Mais geralmente, vetores tangentes são elementos de um espaço tangente de uma variedade diferenciável. Vetores tangentes também podem ser descritos em termos de germes. Formalmente, um vetor tangente no ponto é uma derivação linear da álgebra definida pelo conjunto de germes em .
Motivação Antes de prosseguir com uma definição geral de vetor tangente, discutimos seu uso em cálculo e suas propriedades tensoriais.
Cálculo Seja uma curva suave paramétrica. O vetor tangente é dado por desde que exista e desde que , onde usamos uma plica em vez do ponto usual para indicar diferenciação em relação ao parâmetro .J. Stewart (2001) O vetor tangente unitário é dado por
Exemplo Dada a curva em , o vetor tangente unitário em é dado por
Onde os componentes do vetor tangente são encontrados tomando a derivada de cada componente correspondente da curva em relação a .
Contravariância Se é dado parametricamente no sistema de coordenadas n-dimensional (aqui usamos sobrescritos como índice em vez do subscrito usual) por ou então o campo vetorial tangente é dado por Sob uma mudança de coordenadas o vetor tangente no sistema de coordenadas é dado por onde usamos a convenção de soma de Einstein. Portanto, um vetor tangente de uma curva suave se transformará em um tensor contravariante de ordem um sob uma mudança de coordenadas.D. Kay (1988)
Definição Seja uma função diferenciável e seja um vetor em . Definimos a derivada direcional na direção em um ponto por O vetor tangente no ponto pode então ser definidoA. Gray (1993) como
Propriedades Sejam funções diferenciáveis, sejam vetores tangentes em em , e sejam . Então
Vetor tangente em variedades Seja uma variedade diferenciável e seja a álgebra de funções diferenciáveis de valor real em . Então, o vetor tangente a em um ponto na variedade é dado pela derivação que deve ser linear — ou seja, para qualquer e , temos
Observe que a derivação terá, por definição, a propriedade de Leibniz
Ver também
Referências
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Categoria:Vetores