Em matemática, o produto de Wallis para , expresso em 1655 por John Wallis, estabelece que
300px|miniatura|direita|Comparação da convergência do produto de Wallis (asteriscos em roxo) e diversas séries infinitas históricas para π. Sn é a aproximação após tomar n termos. Cada subsequente subplotagem magnifica a área sombreada horizontalmente por 10 vezes. (clicar para detalhe)
Dedução Wallis deduziu este produto infinito como ele é apresentado atualmente em livros de cálculo, examinando para valores pares e ímpares de n, e notando que para grandes n, aumentando n por 1 resulta em uma mudança que torna-se menor quando n aumenta. Como o cálculo infinitesimal moderno ainda não existia, e a análise matemática naquela época era inadequada para discutir as questões de convergência, esta era uma pesquisa difícil bem como também uma tentativa.
O produto de Wallis é, em retrospecto, um corolário fácil da posterior fórmula de Euler para a função senoidal. Em 2015 os pesquisadores Carl Richard Hagen e Tamar Friedmann, em uma descoberta surpresa, encontraram a mesma fórmula nos cálculos da mecânica quântica dos níveis de energia de um átomo de hidrogênio."Discovery of classic pi formula a 'cunning piece of magic'." University of Rochester (November 10, 2015"New derivation of pi links quantum physics and pure math." American Institute of Physics (November 10, 2015)"New derivation of pi links quantum physics and pure math." Phys.org (November 10, 2015)"Revealing the hidden connection between pi and Bohr's hydrogen model." Physics World (November 17, 2015)
Prova usando o produto infinito de Euler para a função seno
Seja x = :
Prova usando integração
Seja:
(uma forma da integral de Wallis). Integração por partes:
Este resultado será usado abaixo:
Repetindo o processo,
Repetindo o processo,
, from above results. Pelo teorema do confronto,
Relação com a aproximação de Stirling A fórmula de Stirling para n! estabelece que .
Considere agora as aproximações finitas para o produto de Wallis, obtidas tomando os primeiros k termos no produto:
pk pode ser expresso como
Substituindo a aproximação de Stirling nesta expressão (para k! e (2k)!) pode-se deduzir (após curto cálculo) que pk converge para quando k → ∞.
ζ'(0) A função zeta de Riemann e a função eta de Dirichlet podem ser difinidas:
Aplicando uma transformação de Euler à última série, obtém-se o seguinte
Ligações externas
Categoria:Algoritmos de cálculo de Pi