thumb|300px|A integral de Itō () de um movimento browniano () em relação a si mesma, isto é, tanto o integrando, quanto o integrador são browniano. Acontece que . O cálculo de Itō, que recebe este nome em homenagem ao matemático japonês Kiyoshi Itō, estende os métodos do cálculo aos processos estocásticos, como o movimento browniano. Tem importantes aplicações em matemática financeira e equações diferenciais estocásticas.
O conceito central é a integral estocástica de Itō, uma generalização estocástica da integral de Riemann-Stieltjes em análise. Os integrandos e os integradores são agora processos estocásticos:em que é um processo localmente quadrado-integrável adaptado à filtração gerada por , que é um movimento browniano ou, de forma mais generalizada, um semimartingale. O resultado da integração é então outro processo estocástico. Concretamente, a integral de 0 a qualquer particular é uma variável aleatória, definida como um limite de uma certa sequência de variáveis aleatórias. Os caminhos do movimento browniano falham em satisfazer os requisitos para que se apliquem as técnicas padrão do cálculo. Sendo o integrando um processo estocástico, a integral estocástica de Itō equivale a uma integral em relação a uma função que não é diferenciável em nenhum ponto e tem variação infinita sobre qualquer intervalo de tempo. O principal insight é que a integral pode ser definida enquanto o integrando for adaptado, o que quer dizer que seu valor no tempo pode depender apenas da informação disponível até este tempo. Grosso modo, é escolhida uma sequência de partições do intervalo de 0 a e são construídas somas de Riemann. Toda vez que computamos uma soma de Riemann usamos uma instanciação particular do integrador. O ponto em cada um dos pequenos intervalos usado para computar o valor da função é crucial. O limite então é tomado em probabilidade conforme a norma da partição vai a zero. Deve-se tomar cuidado com numerosos detalhes técnicos para mostrar que o limite existe e independe da sequência particular de partições. Tipicamente, o fim à esquerda do intervalo é usado.
Importantes resultados do cálculo de Itō incluem a fórmula da integração por partes e o lema de Itō, que é uma fórmula de mudança de variáveis. Estas diferem das fórmulas do cálculo padrão devido aos termos de variação quadrática.
Em matemática financeira, a estratégia de avaliação da integral descrita é conceituada como se primeiramente decidíssemos o que fazer e, em seguida, observássemos a mudança nos preços. O integrando representa quantas ações temos, o integrador representa o movimento dos preços e a integral representa quanto dinheiro temos ao total, incluindo quanto valem nossas ações a qualquer dado momento. Os preços das ações e outros ativos financeiros comercializados podem ser modelados por processos estocásticos como o movimento browniano e, mais frequentemente, o movimento browniano geométrico, como no modelo Black-Scholes. Então, a integral estocástica de Itō representa a recompensa de uma estratégia de comercialização de tempo contínuo que consiste em manter um montante de ações no tempo . Nesta situação, a condição de que seja adaptado corresponde à restrição necessária de que a estratégia de comercialização pode fazer uso apenas das informações disponíveis até um dado momento. Isto impede a possibilidade de ganhos ilimitados por meio de negociação de alta frequência, que consiste em comprar ações antes de cada pequeno aumento no mercado e vender antes de cada pequena queda. Semelhantemente, a condição de que seja adaptado implica que a integral estocástica não divergirá quando calculada como o limite de somas de Riemann.
Notação O processo definido anteriormente como:é ele mesmo um processo estocástico com parâmetro de tempo , que também é escrito às vezes como . Alternativamente, a integral é frequentemente escrita em forma diferencial , que é equivalente a . Como o cálculo de Itō diz respeito a processos estocásticos de tempo contínuo, assume-se que um espaço de probabilidade filtrado subjacente é dado por:A sigma-álgebra representa a informação disponível até o tempo e um processo é adaptado se for -mensurável. Um movimento browniano é entendido como um movimento Ft-browniano, que é simplesmente um movimento browniano padrão com as propriedades de que é -mensurável e que é independente de para qualquer .
Integração em relação ao movimento browniano A integral de Itō pode ser definida de forma semelhante à da integral de Riemann–Stieltjes, isto é, como um limite em probabilidade de somas de Riemann. Um limite deste tipo não necessariamente existe caminho a caminho. Suponha que é um processo de Wiener e que é um processo contínuo à direita, adaptado e localmente limitado. Se for uma sequência de partições de com norma indo a zero, então, a integral de Itō de em relação a até o tempo é uma variável aleatória:Pode-se mostrar que este limite converge em probabilidade.
Para algumas aplicações, tais como os teoremas de representação de martingales e tempos locais, a integral é necessária para processos não contínuos. Os processos previsíveis formam a menor classe que é fechada sob a tomada de limites de sequência e contém todos os processos contínuos à esquerda adaptados. Se for qualquer processo previsível tal que para todo , então, a integral de em relação a pode ser definida e é considerada -integrável. Qualquer processo deste tipo pode ser aproximado por uma sequência de processos contínuos à esquerda, adaptados e localmente limitados, no sentido em que:em probabilidade. Então, a integral de Itō é:em que, novamente, pode-se mostrar que o limite converge em probabilidade. A integral estocástica satisfaz a isometria de Itō:que se aplica quando é limitado ou, de forma mais generalizada, quando a integral à direita é finita.
Processos de Itō thumb|Uma única realização do processo de Itō com e , em que é a ondaleta de Ricker. Fora da maré da ondaleta, o movimento do processo de Itō é estável. Um processo de Itō é definido como um processo estocástico adaptado que pode ser expresso como a soma de uma integral em relação ao movimento browniano e uma integral em relação ao tempo:Aqui, é um movimento browniano e exige-se que seja um processo -integrável previsível, previsível e integrável (de Lebesgue), isto é:para cada . A integral estocástica pode ser estendida a tais processos de Itō:Isto é definido para todos os integrandos localmente limitados e previsíveis. De forma mais generalizada, exige-se que seja -integrável e seja Lebesgue-integrável, de modo que:
Tais processos previsíveis são chamados de -integráveis.
Um importante resultado para o estudo de processos de Itō é o lema de Itō. Em sua forma mais simples, para qualquer função dupla e continuamente diferenciável em números reais e para o processo de Itō como descrito acima, afirma que é ela mesma um processo de Itō que satisfaz:
Esta é a versão em cálculo estocástico da fórmula de mudança de variáveis e da regra da cadeia. Difere do resultado padrão devido ao termo adicional envolvendo a segunda derivada de , que vem da propriedade de que o movimento browniano tem variação quadrática diferente de zero.
Semimartingales como integradores A integral de Itō é definida em relação a um semimartingale . Estes processos podem ser decompostos como para um martingale local e um processo de variação finita . Exemplos importantes de tais processos incluem o movimento browniano, que é um martingale, e processos de Lévy. Para um processo adaptado, localmente limitado e contínuo à esquerda , a integral existe e pode ser calculada como um limite de somas de Riemann. Considere uma sequência de partições de com norma indo a zero:Este limite converge em probabilidade. A integral estocástica de processos contínuos à esquerda é generalizada o bastante para estudar muito do cálculo estocástico. Por exemplo, é suficiente para aplicações do lema de Itō, mudanças de medida pelo teorema de Girsanov e o estudo de equações diferenciais estocásticas. Entretanto, é inadequada para outros tópicos importantes como os teoremas de representação de martingales e tempos locais.
A integral se estende a todos os integrandos previsíveis e localmente limitados, de forma diferenciada, de modo que o teorema da convergência dominada se aplica. Em outras palavras, se e para um processo localmente limitado , então:em probabilidade. A diferença da extensão de integrandos contínuos à esquerda a integrandos previsíveis é um resultado do lema de classe monótona.
Em geral, a integral estocástica pode ser definida mesmo em casos em que o processo previsível não é localmente limitado. Se , então, e são limitados. A associatividade da integração estocástica implica que é -integrável, com integral , se e apenas se e . O conjunto de processos -integráveis é denotado por .
Propriedades As seguintes propriedades podem ser encontradas:
A integral estocástica é um processo càdlàg. Além disso, é um semimartingale. As descontinuidades da integral estocástica são dadas pelos saltos do integrador multiplicado pelo integrando. O salto de um processo càdlàg em um tempo é e é frequentemente denotado por . Com esta notação, . Uma consequência particular disto é que as integrais em relação a um processo contínuo são sempre elas próprias contínuas. Associatividade: Considere processos prevísiveis e e -integrável. Então, é -integrável se e apenas se for -integrável, no caso em que:
Convergência dominada: Suponha que e , em que é um processo -integrável, então, . A convergência é em probabilidade em cada tempo . De fato, converge uniformemente em compactos em probabilidade. A integral estocástica comuta com a operação de tomada de covariações quadrática. Se e forem semimartingales, então, qualquer processo -integrável também será -integrável e . Uma consequência disto é o processo de variação quadrática de uma integral estocástica é igual a uma integral do processo de variação quadrática:
Integração por partes Como no cálculo comum, a integração por partes é um resultado importante em cálculo estocástico. A fórmula da integração por partes para a integral de Itō difere do resultado padrão devido à inclusão do termo de covariação quadrática. Este termo vem do fato de que o cálculo de Itō lida com processos com variação quadrática não nula, que apenas ocorrem para processos de variação infinita, como o movimento browniano. Se e forem semimartingales, então:em que é o processo de covariação quadrática.
O resultado é semelhante ao teorema de integração por partes para a integral de Riemann–Stieltjes, mas tem um termo de variação quadrática adicional.
Lema de Itō
O lema de Itō é a versão da regra da cadeia ou da fórmula da mudança de variáveis que se aplica à integral de Itō. É um dos teoremas mais potentes e frequentemente usados em cálculo estocástico. Para um semimartingale contínuo de dimensões e uma função de a duplamente e continuamente diferenciável, afirma que é um semimartingale e:Isto difere da regra da cadeia usada em cálculo padrão devido ao termo envolvendo a covariação quadrática . A fórmula pode ser generalizada a semimartingales não contínuos ao adicionar um termo de salto puro para garantir que os saltos à esquerda e à direita concordem uns com os outros.
Integradores martingales
Martingales locais Uma propriedade importante da integral de Itō é que ela preserva a propriedade do martingale local. Se for um martingale local e for um processo previsível localmente limitado, então, é também um martingale local. Para integrandos não localmente limitados, há exemplos em que não é um martingale local. Entretanto, isto pode ocorrer apenas quando não é contínuo. Se for um martingale local contínuo, então, um processo previsível é -integrável se e apenas se:para cada e é sempre um martingale local.
A afirmação mais geral para um martingale local descontínuo é que, se for localmente integrável, então, existe e é um martingale local.
Martingales quadrado-integráveis