Lógicas difusas de T-norma são uma família de lógicas não clássicas, informalmente delimitada por ter uma semântica que toma o intervalo da unidade real de [0, 1] para o sistema de valores verdade e de funções chamadas de t-normas para possíveis interpretações de conjunção lógica. Elas são usadas principalmente em lógica difusa aplicada e teorias de conjuntos difusos como uma base teórica para o raciocínio aproximado.
As famílias de lógica difusa de t-norma fazem parte de classes mais amplas de lógica difusa e de lógica multivalorada. A fim de gerar uma implicação bem comportada, as t-normas geralmente são necessárias que sejam funções contínuas; lógicas de t-norma de função continua pertencem à classe de lógica subestrutural, entre os quais estão assinalados com a validade da lei da pré-linearidade, (A → B) ∨ (B → A). Tanto as lógicas difusas de t-norma proposicional e de primeira ordem (ou de ordem superior), bem como suas expansões por operador modal e outros operadores, são estudados. Lógicas que restringem a semântica de t-norma a um subconjunto do intervalo de unidade real (por exemplo, Lógicas de Łukasiewicz finitamente valorizadas) são normalmente incluídos na classe.
Exemplos importantes de lógicas difusas de t-norma são as lógicas monoidais de t-norma (MTL) de todas t-normas de função contínua à esquerda, lógica básica (BL) de todas t-normas contínuas, produto de lógica difusa do produto de t-normas, ou o nilpotent mínimum logic da t-norma nilpotent mínima. Algunas lógicas motivadas independentemente pertencem à lógica difusa de t-norma também, como por exemplo a lógica de Łukasiewicz (que é a lógica da t-norma Łukasiewicz) ou a lógica de Gödel–Dummett (que é a lógica da t-norma mínima).
Motivação Como membros da família da lógica difusa, lógicas difusas de t-norma, principalmente, visam generalizar lógica clássica de bivalorada por admitir valores-verdade intermediários entre 1 (verdade) e 0 (falsidade), representando graus de verdade das proposições. Os graus são considerados números reais a partir da unidade de intervalo de [0, 1]. Em lógica proposicional difusa de t-norma conectivos proposicionaiss são estipulados para serem verofuncionais, isto é, o valor de verdade de uma proposição complexa formada por uma proposicional conjuntivo a partir de alguns constituintes proposições é uma função (chamada a função de verdade do conectivo) de verdade dos valores dos constituintes das proposições. A funções de verdade operam no conjunto de graus de verdade (na semântica padrão, no intervalo [0, 1]); assim, a função de verdade de um conectivo proposicional n-ário c é uma função Fc: [0, 1]n → [0, 1]. Funções de verdade generalizam tabelas de verdade dos conectivos proposicionais conhecidas da lógica clássica para operar no sistema maior de valores de verdade.
A lógica difusa de t-norma impõe certas limitações naturais na função de verdade da conjunção. A função de verdade da conjunção é assumida satisfazer as seguintes condições: Comutatividade, que é, para todos x e y em [0, 1]. Isso expressa o pressuposto de que a ordem das proposições difusas é imaterial na conjunção, mesmo se graus de verdades intermediários são admitidos. Associatividade, isto é, para todos x, y, e z em [0, 1]. Isso expressa o pressuposto de que a ordem de realização da conjunção é imaterial, mesmo se graus intermediários de verdade são admitidos. Monotonia, isto é, se então para todo x, y, e z em [0, 1]. Isso expressa o pressuposto de que o aumento do grau verdade de um operando da conjunção não deve diminuir o grau verdade de uma conjunção. Neutralidade de 1, isto é, para todo x em [0, 1]. Esta hipótese corresponde a respeito da verdade grau 1 como verdade completa, conjunção com a qual não diminui o valor verdade do outro operando da conjunção. Juntamente com as condições anteriores esta condição garante que também para todo x em [0, 1], o que corresponde a respeito do grau de verdade 0 como falsidade plena, conjunção com o qual sempre é plenamente falso. Continuidade da função (a condição anterior reduz essa exigência para a continuidade em cada argumento). Informalmente, este expressa a suposição de que alterações microscópicas do grau verdade de orações não deve resultar em uma alteração macroscópica do grau verdade de seu conjunto. Esta condição, entre outras coisas, garante um bom comportamento de implicação (residual) derivada do conjunto; para garantir o bom comportamento, no entanto, a continuidade à esquerda (ou argumento) da função é suficiente.Esteva & Godo (2001) Em geral, na lógica difusa de t-norma, portanto, apenas a continuidade à esquerda de é necessária, que expressa o pressuposto de que uma diminuição microscópica do grau verdade de um operando da conjunção não deve macroscopicamente diminuir o grau de verdade da conjunção. Estes pressupostos tornam a função de verdade da conjunção uma t-norma contínua à esquerda, o que explica o nome da família de lógica difusa (baseada em t-norma). Lógicas particulares da família podem fazer outras suposições sobre o comportamento do conjunto (por exemplo, lógica de Gödel requer sua idempotência) ou outros conectivos (por exemplo, a lógica IMTL requer a involução da negação).
Todas t-normas contínuas à esquerda tem um único resíduo, isto é, uma função binária tal que para todos x, y, e z em [0, 1],
if and only if
O resíduo de uma t-norma contínua à esquerda pode ser definido explicitamente como
Isso garante que o resíduo é a maior função, em relação a pontos, tal que para todos x e y,
O último pode ser interpretado como uma versão difusa da regra de inferência modus ponens. O resíduo de uma t-norma contínua à esquerda, portanto, pode ser caracterizado como a função mais fraca que torna o modus ponens difuso válido, o que a torna uma função de verdade adequada para a implicação na lógica difusa. A continuidade à esquerda da t-norma é condição necessária e suficiente para assegurar esta relação entre uma conjunção de t-norma e sua implicação residual.
Funções de verdade de mais conectivos proposicionais podem ser definidas por meio da t-norma e o seu resíduo, por exemplo, o residual de negação ou bi-residual de equivalência de Funções de verdade de conectivos proposicionais também podem ser introduzidos por definições adicionais: os mais usuais são o mínimo (que desempenha um papel de outro conectivo conjuntivo), e o máximo (que desempenha o papel de um conectivo disjuntivo), ou o operador Baaz Delta, definido em [0, 1] como se e caso contrário. Desta forma, uma t-norma contínua à esquerda, os seus resíduos, e a funções de verdade de conectivos proposicionais adicionais determinam os valores-verdade de fórmulas proposicionais complexas em [0, 1].
Fórmulas que sempre validam como 1 são chamadas de tautologias com respeito à dada t-norma contínua à esquerda ou tautologias. O conjunto de todas as tautologias é chamado de a lógica da t-norma, como que essas fórmulas representam as leis da lógica difusa (determinadas pela t-norma) que valem (grau 1), independentemente do grau de verdade de fórmulas atômicas. Algumas fórmulas são tautologias com respeito a uma classe maior de t-normas contínuas à esquerda; o conjunto de fórmulas é chamado de a lógica da classe. Lógicas t-normas importantes são as lógicas de t-normas particulares ou classes de t-normas, por exemplo: lógica Łukasiewicz é a lógica da t-norma Lukasiewicz Lógica Gödel–Dummett é a lógica da t-norma mínima Produto lógica fuzzy é a lógica do produto t-norma Lógica Monoidal t-norma LMT é a lógica do (a classe de) todas t-normas contínuas à esquerda Lógica difusa básica LDB é a lógica do (a classe de) todos contínua t-normas
Acontece que muitas lógicas de t-normas particulares e classes de t-normas são axiomatizáveis. O teorema da completude do sistema axiomático com respeito a semântica de t-norma correspondente no intervalo [0, 1] é portanto chamada de o padrão de completude da lógica. Além da semântica de valor real padrão no intervalo [0, 1], as lógicas são corretas e completas com respeito à semântica geral algébrica, formada por classes adequadas reticulados residuados integrais limitados comutativos pré-lineares.
História Algumas lógicas difusas de t-norma particulares tem sido introduzidas e investigadas, muito antes de a família ser reconhecida (mesmo antes de as noções de lógica difusa ou t-norma emergirem): Lógica Łukasiewicz (a lógica de Lukasiewicz t-norma) foi definido originalmente por Jan Lukasiewicz (1920) como uma lógica de três valores;Łukasiewicz J., 1920, O logice trojwartosciowej (Polish, On three-valued logic). mais tarde, foi generalizado para n-valorada (para todo n finito), bem como variantes infinitamente-muito-valoradas, tanto na lógica proposicional quanto de primeira ordem.Hay, L.S., 1963, Axiomatization of the infinite-valued predicate calculus. Lógica Gödel–Dummett (a lógica da mínima t-norma), estava implícito na prova da valorização infinita de Gödel's de 1932 da lógica intuicionista.Gödel K., 1932, Zum intuitionistischen Aussagenkalkül, Anzeiger Akademie der Wissenschaften Wien 69: 65–66. Mais Tarde (em 1959) foi explicitamente estudada por Dummett que provou um teorema de completude para a lógica.Dummett M., 1959, Propositional calculus with denumerable matrix, Journal of Symbolic Logic 27: 97–106 Um estudo sistemático de lógica difusa de t-norma particular e suas aulas começaram com a monografia Metamatemática da Lógica Difusa, de Hájek's (1998) que apresentou a noção de que a lógica de uma t-norma contínua, as lógica de três contínua t-normas básicas (Łukasiewicz, Gödel, e produto), e a lógica difusa "básica" BL de todas t-normas contínuas (todos eles, tanto proposicional quanto de primeira ordem). O livro também começou a investigação da lógica difusa como lógica não-clássica com cálculos do estilo de Hilbert, álgebra semântica, e propriedades matemáticas conhecidas a partir de outras lógicas (teoremas de completude, teoremas de dedução, complexidade, etc.).
Desde então, uma infinidade de lógicas difusas de norma-t foi introduzida e suas propriedade matemáticas têm sido investigadas. Alguns dss mais importantes t-normas de lógica difusa foram introduzidas em 2001, por Esteva e Godo (MTL, IMTL, SMTL, NM, WNM),Esteva & Godo (2001) Esteva, Godo, e Montagna (proposicional ŁΠ),Esteva F., Godo L., & Montagna F., 2001, The ŁΠ and ŁΠ½ logics: Two complete fuzzy systems joining Łukasiewicz and product logics, Archive for Mathematical Logic 40: 39–67. e Cintula (ŁΠ de primeira ordem).Cintula P., 2001, The ŁΠ and ŁΠ½ propositional and predicate logics, Fuzzy Sets and Systems 124: 289–302.
Linguagem lógica O vocabulário lógico da lógica difusa de norma-t proposicional, de forma padronizada, compreende os seguintes conectivos: Implicação (binário). No contexto de outros que não baseados em t-norma de lógica difusa, a implicação com base em t-norma é às vezes chamado de implicação residual ou R-implicação, como seu padrão semântica é o resíduo da t-norma que torna a conjunção forte. Conjunção Forte (binário). No contexto de lógica subestrutural, o sinal e os nomes grupo, intensional, multiplicativos, ou conjunção paralela são muitas vezes utilizados para a conjunção forte. Conjunção Fraca (binário), também chamado de conjunção lattice (como é sempre realizada pela operação lattice de meet em álgebra semântica). No contexto de substructural logics, os nomes aditivo, extensional, ou conjunção comparativa são, por vezes utilizados para conjunção lattice. Na lógica BL e suas extensões (embora não em t-norma lógica em geral), conjunção fraca é definível em termos de implicação e conjunção forte, por
A presença de duas conectivos de conjunção é uma característica comum de lógica substructural de contração livre.