Derivada de Caputo é um dos operadores da derivada fracionária assim como Derivada Fracionária de Riemann-Liouville, derivada fracionária de Grünwald-Letnikov, Weyl, Riesz e outras formulações recentes .
História e diferencial da derivada de Caputo A derivada fracionária de Caputo foi proposta pelo italiano Michele Caputo, em 1969, e tem origem na definição da Derivada Fracionária de Riemann-Liouville em que a derivada de ordem arbitrária equivale à derivada de ordem inteira de uma integral de ordem arbitrária, enquanto na formulação de Caputo a derivada de ordem arbitrária é a integral de ordem arbitrária de uma derivada de ordem inteira, ou seja, há uma inversão na ordem dos operadores. Para muitos autores, em problemas com dependência temporal, é mais conveniente adotar a formulação de Caputo, pois diferente da formulação de Riemann-Liouville a derivada de uma constante é nula e pode ser interpretada como uma taxa de variação, outro motivo é que a derivada de Caputo depende de condições iniciais dadas nas derivadas usuais da função (que são fisicamente interpretadas) e na de Riemann-Liouville depende de condições na integral fracionária que não tem interpretação física trivial R. F. Camargo and E. C. de Oliveira, Cálculo Fracionário, Editora Livraria da Física, São Paulo, Brasil, 2015. E. C. de Oliveira and J. A. T. Machado, A review of definitions for fractional derivatives and integral, Mathematical problems and engineering, http://dx.doi.org/10.1155/2014/238459, 2014. RODRIGUES, F. G. and OLIVEIRA, E.C. de. Introdução às técnicas do cálculo fracionário para estudar modelos da física matemática. Rev. Bras. Ensino Fís. [online]. 2015, vol.37, n.3, pp.3305-1-3305-12. ISSN 1806-1117. http://dx.doi.org/10.1590/S1806-11173731842.
Definição
Definimos a derivada fracionária de Caputo, de ordem , com como
em que é a Integral Fracionária segundo Riemann-Liouville e é a derivada do cálculo clássico de ordem inteira .
Derivada de Caputo de uma constante Consideremos , temos:
pois . E ao tomar em que é constante, temos .
Transformada de Laplace da derivada de Caputo
Calculemos a transformada de Laplace (TL) de que é utilizada para resolver algumas modelagens fracionárias tais como Sistema de Lotka-Volterra Fracionário, equação logística fracionária N. Varalta, A.V. Gomes and R. F. Camargo, A prelude to the fractional calculus applied to tumor dynamic, Tendencias em Matemática Aplicada e Computacional,vol. 15, N. 2 (2014), 211-221, http://dx.doi.org/10.5540/tema.2014.015.02.0211. , equação de Malthus e etc.
Concluímos
Casos particulares
TL para
TL para
Não localidade e efeitos de memória A derivada de Caputo depende de uma integral que "vai do instante que escolhemos como inicial" até o presente momento, . Desta forma este operador é não-local e preserva o chamado efeito de memória.
Categoria:Derivadas