Em matemática, mais especificamente em álgebra linear, o teorema do núcleo e da imagem, em sua forma mais simples, afirma que o posto e a nulidade de uma matriz têm como soma o número de colunas da matriz. Especificamente, se A é uma matriz m-por-n (com m linhas e n colunas) sobre um corpo, então:

Isto também se aplica a transformações lineares. Sejam V e W espaços vetoriais sobre algum corpo e seja uma transformação linear. Então o posto de T é a dimensão da imagem de T e a nulidade de T é a dimensão do núcleo de T. Tem-se:

ou, equivalentemente,

Pode-se refinar esta afirmação (por meio do lema de splitting ou a prova abaixo) para que seja sobre um isomorfismo de espaços, em vez de apenas sobre as respectivas dimensões.

Mais geralmente, pode-se considerar a imagem, o núcleo, a co-imagem e o co-núcleo, que estão relacionados pelo teorema fundamental da álgebra linear.

Demonstrações Serão apresentadas duas demonstrações. A primeira utiliza a notação das transformações lineares, mas pode ser facilmente adaptada para matrizes escrevendo , onde A é . A segunda prova examina o sistema homogêneo associado a uma matriz A de posto r e mostra explicitamente que existe um conjunto de soluções linearmente independentes que geram o espaço nulo de A. Essas provas também estão disponíveis no livro de Banerjee e Roy (2014)

Primeira demonstração: Suponha que forma uma base de ker T. Pode-se estender esta base para formar uma base de V: Como a dimensão de ker T é m e a dimensão de V é , é suficiente mostrar que a dimensão da é n.

Para ver que é uma base de , seja v um vetor arbitrário em V. Existe uma única sequência de escalares tais que:

Assim, gera .

Agora, é preciso mostrar que esta lista não tem redundâncias; isto é, que é linearmente independente. Pode-se fazer isso mostrando que uma combinação linear destes vetores é zero se, e somente se, os coeficientes de cada vetor são zero. Seja:

Então, como ui geram ker T, existe um conjunto de escalares di tais que:

Mas, como é uma base de V, todos os ci, di devem ser zero. Portanto, é linearmente independente e de fato uma base de . Isto prova que a dimensão de é n, como desejado.

Em termos mais abstratos, a aplicação cinde.

Segunda demonstração: Seja A uma matriz com r colunas linearmente independentes (isto é o posto de A é r). Será mostrado que: (i) existe um conjunto de soluções linearmente independentes para o sistema homogêneo , e (ii) que toda outra solução é uma combinação linear destas soluções. Em outras palavras, será produzida uma matriz X de ordem cujas colunas formam uma base do espaço nulo de A.

Sem perda de generalidade, assuma que as primeiras r colunas de A são linearmente independentes. Então, pode-se escrever , em que A1 é com r vetores colunas linearmente independentes e A2 é , sendo cada uma de suas colunas combinações lineares das colunas de A1. Isto significa que para alguma matriz B (ver fatoração de posto) e, assim, . Seja em que é a matriz matriz identidade (n − r) × (n − r). Note que X é uma matriz que satisfaz

Portanto, cada uma das colunas de X são soluções particulares de . Além disso, as colunas de X são linearmente independentes, pois implica :

Portanto, os vetores coluna de X constituem um conjunto de n − r soluções linearmente independentes de Ax = 0.

A seguir será provado que qualquer solução de tem de ser uma combinação linear das colunas de X. Para isso, seja qualquer vetor tal que . Note que como as colunas de A1 são linearmente independentes, implica . Portanto,

Isso prova que qualquer vetor u que é uma solução de tem de ser uma combinação linear das soluções especiais dadas pelas colunas de X. E já foi mostrado que as colunas de X são linearmente independentes. Assim, as colunas de X constituem uma base para o espaço nulo de A. Por conseguinte, a nulidade de A é . Como r é igual ao posto de A, segue-se que . QED.

Reformulações e generalizações Este teorema é uma instância do primeiro teorema de isomorfismo da álgebra para o caso de espaços vetoriais; ele se generaliza para o splitting lemma.

Em uma linguagem mais moderna, o teorema também pode ser expresso como segue: 0 → U → V → R → 0 é uma sequência exata curta de espaços vetoriais, então dim(U) + dim(R) = dim(V). Aqui R desempenha o papel de im T e U é o ker T, isto é

No caso de dimensão finita, esta formulação é suscetível a uma generalização: se 0 → V1 → V2 → ... → Vr → 0 é uma sequência exata de espaços vetoriais de dimensão finita, então

O teorema do núcleo e da imagem para espaços vetoriais de dimensão finita também podem ser formulado em termos do índice de uma transformação linear. O índice de uma transformação linear , em que V e W têm dimensão finita, é definido por índice T = dim(ker T) − dim(coker T). Intuitivamente, dim(ker T) é o número de soluções independentes x da equação e dim(coker T) é o número de restrições independentes que devem ser impostas sobre y que tenha solução. O teorema do núcleo e da imagem para espaços vetoriais de dimensão finita é equivalente à afirmação de que índice T = dim(V) − dim(W). Pode-se obter o índice da transformação linear T a partir dos espaços envolvidos, sem a necessidade de se analisar T em detalhe. Este efeito também ocorre em um resultado muito mais profundo: o teorema do índice de Atiyah–Singer afirma que o índice de certos operadores diferenciais pode ser obtido da geometria dos espaços envolvidos.

Notas

Referências

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